Какое уравнение плоскости можно составить, если она параллельна вектору а = {5, -4, -5) и отсекает на координатных осях

Солнечный_Свет

17

Для составления уравнения плоскости, параллельной данному вектору и отсекающей отрезки на координатных осях, нам необходимо учесть следующие факты:

1. Уравнение плоскости можно записать в виде \(Ax + By + Cz + D = 0\), где \(A, B, C\) - коэффициенты плоскости, а \(D\) - свободный член.
2. Плоскость параллельна вектору \(\mathbf{a} = (5, -4, -5)\), следовательно, нормальный вектор плоскости будет иметь такие же координаты, что и \(\mathbf{a}\).
3. Плоскость отсекает отрезок на оси OX в точках \(x = -2\) и \(x = 4\), а на оси OY в точках \(y = -2\) и \(y = 4\).

Теперь рассмотрим каждый из этих фактов более подробно и составим уравнение плоскости.

1. Используя коэффициенты плоскости \(A, B, C\) и свободный член \(D\), мы можем записать общее уравнение плоскости:
\[Ax + By + Cz + D = 0.\]

2. Так как плоскость параллельна вектору \(\mathbf{a} = (5, -4, -5)\), нормальный вектор плоскости также будет равен \(\mathbf{a}\). То есть, мы получаем \(A = 5\), \(B = -4\) и \(C = -5\).

3. Плоскость отсекает отрезок на оси OX в точках \(x = -2\) и \(x = 4\). Это означает, что плоскость проходит через эти две точки, и мы можем использовать точки для определения значения свободного члена \(D\). Подставляя значения координат точек \((-2, 0, 0)\) и \((4, 0, 0)\), получаем:
\[5(-2) + (-4)(0) + (-5)(0) + D = 0\]
\[5(4) + (-4)(0) + (-5)(0) + D = 0\]

Выполняя простые вычисления, мы получаем:
\[-10 + D = 0\]
\[20 + D = 0\]

Таким образом, \(D = 10\) и \(D = -20\).

Итак, уравнение плоскости будет иметь два варианта, учитывая разные значения свободного члена:
\[5x - 4y - 5z + 10 = 0\]
\[5x - 4y - 5z - 20 = 0\]

Оба этих уравнения представляют плоскость, которая параллельна вектору \(\mathbf{a} = (5, -4, -5)\) и отсекает отрезки на осях OX и OY. Выбор конкретного уравнения зависит от контекста и требований задачи.