Какое уравнение плоскости можно составить, если она параллельна вектору а = {5, -4, -5) и отсекает на координатных осях

Солнечный_Свет

17

Для составления уравнения плоскости, параллельной данному вектору и отсекающей отрезки на координатных осях, нам необходимо учесть следующие факты:

1. Уравнение плоскости можно записать в виде $Ax+By+Cz+D=0$, где $A,B,C$ - коэффициенты плоскости, а $D$ - свободный член.
2. Плоскость параллельна вектору $\mathbf{a}=(5,-4,-5)$, следовательно, нормальный вектор плоскости будет иметь такие же координаты, что и $\mathbf{a}$.
3. Плоскость отсекает отрезок на оси OX в точках $x=-2$ и $x=4$, а на оси OY в точках $y=-2$ и $y=4$.

Теперь рассмотрим каждый из этих фактов более подробно и составим уравнение плоскости.

1. Используя коэффициенты плоскости $A,B,C$ и свободный член $D$, мы можем записать общее уравнение плоскости:
$$Ax+By+Cz+D=0.$$

2. Так как плоскость параллельна вектору $\mathbf{a}=(5,-4,-5)$, нормальный вектор плоскости также будет равен $\mathbf{a}$. То есть, мы получаем $A=5$, $B=-4$ и $C=-5$.

3. Плоскость отсекает отрезок на оси OX в точках $x=-2$ и $x=4$. Это означает, что плоскость проходит через эти две точки, и мы можем использовать точки для определения значения свободного члена $D$. Подставляя значения координат точек $(-2,0,0)$ и $(4,0,0)$, получаем:
$$5(-2)+(-4)(0)+(-5)(0)+D=0$$
$$5(4)+(-4)(0)+(-5)(0)+D=0$$

Выполняя простые вычисления, мы получаем:
$$-10+D=0$$
$$20+D=0$$

Таким образом, $D=10$ и $D=-20$.

Итак, уравнение плоскости будет иметь два варианта, учитывая разные значения свободного члена:
$$5x-4y-5z+10=0$$
$$5x-4y-5z-20=0$$

Оба этих уравнения представляют плоскость, которая параллельна вектору $\mathbf{a}=(5,-4,-5)$ и отсекает отрезки на осях OX и OY. Выбор конкретного уравнения зависит от контекста и требований задачи.