Какое уравнение сферы можно записать с использованием диаметра AB и точками A(-3;5;0) и B(1,-7,2)?

Yarus

29

Чтобы найти уравнение сферы, необходимо знать координаты её центра и радиуса. Мы можем найти центр сферы, используя координаты точек A(-3;5;0) и B(1,-7,2), а затем найти радиус, используя диаметр AB.

1. Найдем координаты центра сферы. Для этого найдем среднее арифметическое координат точек A и B по каждой оси. Для координаты x это будет \((-3+1)/2 = -1\), для y это будет \((5-7)/2 = -1\), а для z это будет \((0+2)/2 = 1\). Таким образом, координаты центра сферы равны C(-1, -1, 1).

2. Теперь найдем радиус. Радиус сферы равен половине длины диаметра AB. Длина диаметра AB можно найти с помощью формулы расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве: \(\sqrt{(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2}\), где (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) - координаты точек A и B соответственно. В нашем случае, длина диаметра AB равна:

\[
\sqrt{(1-(-3))^2 + (-7-5)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{4^2 + (-12)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 144 + 4} = \sqrt{164}
\]

Таким образом, радиус сферы равен половине этой длины: \(\sqrt{164}/2\).

3. Теперь мы имеем все необходимые данные для записи уравнения сферы. Уравнение сферы в общем виде выглядит следующим образом:

\[
(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2,
\]

где (a, b, c) - координаты центра сферы, а r - радиус сферы.

Подставим значения:

\[
(x + 1)^2 + (y + 1)^2 + (z - 1)^2 = \left(\frac{\sqrt{164}}{2}\right)^2
\]

Это и есть уравнение сферы, которое можно записать с использованием диаметра AB и точек A(-3;5;0) и B(1,-7,2).