Какое утверждение можно сделать о наличии группы клеток на шахматной доске, которая образует сплошной прямоугольник?
Какое утверждение можно сделать о наличии группы клеток на шахматной доске, которая образует сплошной прямоугольник? Однако, в этой группе клетки, расположенные в вершинах, отличаются по цвету. Всегда ли такая группа существует, если каждая клетка доски может быть черной или белой?
Morozhenoe_Vampir_2361 54
Такая группа клеток, образующих сплошной прямоугольник, всегда будет существовать на шахматной доске, где каждая клетка может быть черной или белой. Давайте рассмотрим доказательство этого утверждения.Рассмотрим шахматную доску размером \(n \times m\), где \(n\) - количество строк, а \(m\) - количество столбцов.
Поскольку в каждой клетке может быть только два возможных цвета (черный или белый), у нас будет две возможности для каждой строкой и каждого столбца: либо все клетки одного цвета, либо все клетки другого цвета.
Итак, если мы возьмем прямоугольный участок доски с четными размерами \(2a \times 2b\) (где \(a\) и \(b\) - натуральные числа), то мы сможем создать группу клеток, образующую сплошной прямоугольник, с клетками разных цветов в углах.
Если мы возьмем прямоугольный участок доски с нечетными размерами \(2a+1 \times 2b+1\), то наша группа клеток также будет образовывать сплошной прямоугольник с клетками разных цветов в углах. Для этого мы можем взять \(a \times b\) участок с четными размерами как в предыдущем случае, а затем дополнить еще одной строкой и одним столбцом одного цвета.
Таким образом, мы показали, что группа клеток на шахматной доске, образующая сплошной прямоугольник с клетками разных цветов в углах, всегда может быть создана, независимо от размеров доски.
Можете обратить внимание, что это доказательство справедливо для доски любого размера и не зависит от конкретных значений \(n\) и \(m\)