Какое увеличение начальной скорости бросаемого вверх тела необходимо для того, чтобы максимальная высота подъема

Крошка

31

Чтобы решить данную задачу, нам потребуется использовать законы движения, а именно законы движения в вертикальном направлении.

Пусть \(v_0\) - начальная скорость, \(h\) - максимальная высота подъема тела, \(g\) - ускорение свободного падения.

Высота подъема зависит от начальной скорости и времени подъема. Максимальная высота подъема достигается в тот момент, когда скорость становится равной нулю. При этом известно, что время подъема равно времени падения.

Используя формулу движения тела в вертикальном направлении, \(h = v_0t - \frac{1}{2}gt^2\), можем записать:

\[h = \frac{v_0}{g}t - \frac{1}{2}gt^2\]

Для того, чтобы максимальная высота подъема увеличилась в 4 раза, новая высота подъема будет \(4h\). Заменим в формуле \(h\) на \(4h\) и найдем новое время подъема \(t_1\):

\[4h = \frac{v_0}{g}t_1 - \frac{1}{2}gt_1^2\]

Теперь подставим в формулу исходные значения высоты подъема и время подъема для нахождения начальной скорости:

\[4h = \frac{v_0}{g}t - \frac{1}{2}gt^2\]

\[v_0t - \frac{1}{2}gt^2 = 4h\]

Ниже приведено пошаговое решение данной задачи:

1. Используя формулу движения тела в вертикальном направлении, выразим время подъема через начальную скорость и максимальную высоту подъема:

\[t = \frac{v_0}{g}\]

2. Подставим полученное выражение в формулу для максимальной высоты подъема:

\[h = \frac{v_0}{g} \cdot \frac{v_0}{g} - \frac{1}{2}g \cdot \left(\frac{v_0}{g}\right)^2\]

3. Упростим полученное выражение:

\[h = \frac{v_0^2}{g} - \frac{v_0^2}{2g} = \frac{v_0^2}{2g}\]

4. Выразим начальную скорость через максимальную высоту:

\[v_0 = \sqrt{2gh}\]

5. Чтобы максимальная высота подъема увеличилась в 4 раза, новая высота подъема будет \(4h\). Заменим в полученной формуле \(h\) на \(4h\) и найдем новую начальную скорость \(v_1\):

\[v_1 = \sqrt{2g \cdot 4h} = \sqrt{8gh}\]

Таким образом, для того чтобы максимальная высота подъема увеличилась в 4 раза, необходимо увеличить начальную скорость бросаемого вверх тела в \(\sqrt{8}\) раз.