Какое время τ потребуется для катера массой 1,5 тонны, чтобы достичь скорости, равной половине максимально достижимой

Сверкающий_Пегас

40

Для решения этой задачи мы воспользуемся вторым законом Ньютона: сила равна произведению массы на ускорение. В данном случае сила тяги будет противодействовать силе сопротивления движению. Начнем с описания силы сопротивления.

Согласно условию задачи, сила сопротивления движению пропорциональна скорости катера и равна \(100 \cdot v\), где \(v\) - скорость катера.

Таким образом, получаем уравнение сил:
\[F = m \cdot a = 100 \cdot v - T,\]
где \(F\) - сила тяги, \(m\) - масса катера (1,5 тонны = 1500 кг), \(a\) - ускорение катера, \(T\) - время, \(v\) - скорость катера.

Так как сила тяги направлена в положительную сторону и имеет значение \(F = 1000 \cdot a\) (половина от максимально достижимой скорости), уравнение становится:
\[1000 \cdot a = 100 \cdot v - T.\]

Также у нас есть уравнение движения, связывающее скорость и ускорение:
\[a = \frac{{dv}}{{dt}}.\]

Чтобы решить задачу, необходимо связать ускорение и скорость с помощью дифференциального уравнения. Зная, что \(a = \frac{{dv}}{{dt}}\), получим:
\[\frac{{dv}}{{dt}} = \frac{{100 \cdot v - T}}{{1000}}.\]

Для решения этого дифференциального уравнения, мы можем применить метод разделения переменных. Разделив обе части уравнения и заменив интеграл на \(∫\) получим:
\[\int_{{v_0}}^{{v}} \frac{{dv}}{{100 \cdot v - T}} = \int_{{0}}^{{t}} dt,\]
где \(v_0\) - начальная скорость.

После решения этого интеграла, мы найдем:
\[\ln |100 \cdot v - T| = 100t + C,\]
где \(C\) - постоянная интегрирования.

Возведя обе части уравнения в экспоненту \(e\), получим:
\[|100 \cdot v - T| = e^{100t + C}.\]

Так как мы рассматриваем только положительные значения времени и скорости, мы можем опустить модули и получим:
\[100 \cdot v - T = e^{100t + C}.\]

Для автоматической генерации конкретного значения времени, нам потребуется начальное условие. В условии задачи сказано, что катер начинает движение, поэтому при \(t = 0\) скорость будет равна нулю, то есть \(v = 0\). Подставив это условие, получим:
\[- T = e^{C}.\]

Используя начальное условие \(v = 0\) и математическую связь \(T = 100 \cdot v - e^{C}\), мы можем выразить \(T\) через \(C\):
\[- T = 100 \cdot 0 - e^{C}.\]
\[- T = - e^{C}.\]

Теперь, решим это уравнение, выразив \(C\) через \(T\):
\[e^{C} = T.\]

Применив логарифмы обоих частей, получим:
\[C = \ln(T).\]

Теперь, зная \(C = \ln(T)\), подставим это значение в наше уравнение:
\[100 \cdot v - T = e^{100t + \ln(T)}.\]

Возведя экспоненту в степень \(\ln(T)\), получим:
\[100 \cdot v - T = Te^{100t}.\]

Теперь, найдем скорость \(v\), используя начальное условие \(v = 0\) и математическую связь \(T = 100 \cdot v - T\):
\[100 \cdot v - T = Te^{100t}.\]
\[100 \cdot 0 - T = Te^{100t}.\]
\[- T = Te^{100t}.\]
\[e^{100t} = -1.\]
\[100t = \ln(-1).\]
\[t = \frac{\ln(-1)}{100}.\]

Получаем, что время \(τ\) равно \(t = \frac{\ln(-1)}{100}\).