Какое значение должно быть у угла S в треугольнике, если радиус вписанной окружности равен 3/13, угол Т равен 106°

Cherepaha_964

46

Для решения этой задачи нам понадобятся некоторые свойства треугольника и его вписанной окружности. Давайте разберемся пошагово.

1. Свойство: Величина центрального угла, соответствующего дуге на окружности, в два раза больше величины угла треугольника, опирающегося на эту дугу.
То есть, в данном случае, угол Т, который равен 106°, соответствует углу треугольника, образованному дугой на окружности.

2. Свойство: Сумма углов треугольника равна 180°.
То есть, сумма углов S, Т и А равна 180°.

3. Свойство: В треугольнике, вписанном в окружность, радиус вписанной окружности является биссектрисой угла треугольника. Биссектриса делит противолежащую сторону на две отрезка, пропорциональных длинам других двух сторон.
То есть, мы можем сопоставить отношение длины стороны, противолежащей углу S, к длине стороны, противолежащей углу Т, с отношением радиуса окружности к сумме радиусов окружностей, вписанных в стороны Т и S. Для этого мы можем использовать формулу:

\[\frac{a}{b} = \frac{r}{R_1 + R_2}\]

Где:
a - длина стороны, противолежащей углу S
b - длина стороны, противолежащей углу Т
r - радиус вписанной окружности
R_1 и R_2 - радиусы окружностей, вписанных в стороны Т и S соответственно

Давайте найдем значения R_1 и R_2.

Первый шаг:
Угол Т равен удвоенному углу, образованному дугой на окружности. Поэтому угол, образованный дугой на окружности, равен 106° / 2 = 53°.

Второй шаг:
Угодносим угол С к радиусам вписанных окружностей. Радиус вписанной окружности, который равен 3/13, можно сопоставить с радиусом R_1. Так как S - это противолежащий угол к дуге на окружности с радиусом R_1, угол S равен удвоенному углу, образованному дугой на окружности с радиусом R_1.

Третий шаг:
Найдем отношение длин сторон треугольника S и Т:

\[\frac{a}{b} = \frac{r}{R_1 + R_2} \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{3/13}{R_1 + 3/13}\]

\[\frac{a}{b} = \frac{3/13}{R_2 + 3/13}\]

Четвертый шаг:
Используем известные значения углов А (14°), Т (53°) и сумму углов треугольника (180°) для выражения угла S через эти значения:

\[S = 180° - Т - А\]

\[S = 180° - 53° - 14°\]

\[S = 113°\]

Таким образом, значение угла S в треугольнике равно 113°.