Какое значение эквивалентной емкости имеет цепь, состоящая из таких емкостей: C1 = 40 пФ, C2 = 40 пФ, C3 = 20 пФ

Valentina

64

Для решения этой задачи мы можем использовать формулы, связанные с емкостью и зарядом. Давайте начнем с расчета эквивалентной емкости цепи.

Эквивалентная емкость цепи, состоящей из нескольких емкостей, может быть рассчитана по формуле:

\[\frac{1}{C_{экв}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} + \frac{1}{C_4}\]

Подставим значения емкостей в формулу и рассчитаем эквивалентную емкость:

\[\frac{1}{C_{экв}} = \frac{1}{40 \times 10^{-12}} + \frac{1}{40 \times 10^{-12}} + \frac{1}{20 \times 10^{-12}} + \frac{1}{15 \times 10^{-12}}\]

Теперь найдем обратное значение для эквивалентной емкости:

\[C_{экв} = \frac{1}{\frac{1}{40 \times 10^{-12}} + \frac{1}{40 \times 10^{-12}} + \frac{1}{20 \times 10^{-12}} + \frac{1}{15 \times 10^{-12}}}\]

Рассчитаем это значение:

\[C_{экв} = \frac{1}{\frac{1}{40 \times 10^{-12}} + \frac{1}{40 \times 10^{-12}} + \frac{1}{20 \times 10^{-12}} + \frac{1}{15 \times 10^{-12}}} \approx 8.696 \,пФ\]

Таким образом, эквивалентная емкость этой цепи составляет около 8.696 пФ.

Теперь, чтобы рассчитать напряжение на каждой емкости, мы можем использовать формулу, связанную с емкостным делителем. Формула выглядит следующим образом:

\[u_{i} = u \times \frac{C_i}{C_{экв}}\]

Где \(u_i\) - напряжение на \(i\)-й емкости, \(u\) - приложенное напряжение, \(C_i\) - емкость \(i\)-й емкости.

Подставим значения и рассчитаем напряжение на каждой емкости:

\(u_1 = 100 \times \frac{40 \times 10^{-12}}{8.696 \times 10^{-12}} \approx 459.32\) В

\(u_2 = 100 \times \frac{40 \times 10^{-12}}{8.696 \times 10^{-12}} \approx 459.32\) В

\(u_3 = 100 \times \frac{20 \times 10^{-12}}{8.696 \times 10^{-12}} \approx 229.66\) В

\(u_4 = 100 \times \frac{15 \times 10^{-12}}{8.696 \times 10^{-12}} \approx 174.03\) В

Таким образом, напряжение на каждой емкости внутри цепи будет:

\(u_1 \approx 459.32\) В

\(u_2 \approx 459.32\) В

\(u_3 \approx 229.66\) В

\(u_4 \approx 174.03\) В

Теперь перейдем к расчету заряда и энергии на каждой емкости.

Заряд \(Q\) на емкости рассчитывается с помощью формулы:

\[Q = C \times u\]

Где \(C\) - емкость, \(u\) - напряжение.

Рассчитаем заряд и энергию для каждой емкости:

\(Q_1 = 40 \times 10^{-12} \times 459.32 \approx 18.37\) Кл

\(Q_2 = 40 \times 10^{-12} \times 459.32 \approx 18.37\) Кл

\(Q_3 = 20 \times 10^{-12} \times 229.66 \approx 4.59\) Кл

\(Q_4 = 15 \times 10^{-12} \times 174.03 \approx 2.61\) Кл

Теперь рассчитаем энергию \(W\) на каждой емкости, используя формулу:

\[W = \frac{1}{2} \times C \times u^2\]

\(W_1 = \frac{1}{2} \times 40 \times 10^{-12} \times (459.32)^2 \approx 4.24\) мДж

\(W_2 = \frac{1}{2} \times 40 \times 10^{-12} \times (459.32)^2 \approx 4.24\) мДж

\(W_3 = \frac{1}{2} \times 20 \times 10^{-12} \times (229.66)^2 \approx 1.06\) мДж

\(W_4 = \frac{1}{2} \times 15 \times 10^{-12} \times (174.03)^2 \approx 0.47\) мДж

Таким образом, заряд и энергия на каждой емкости и в целой цепи составляют:

\(Q_1 \approx 18.37\) Кл

\(Q_2 \approx 18.37\) Кл

\(Q_3 \approx 4.59\) Кл

\(Q_4 \approx 2.61\) Кл

\(W_1 \approx 4.24\) мДж

\(W_2 \approx 4.24\) мДж

\(W_3 \approx 1.06\) мДж

\(W_4 \approx 0.47\) мДж