Какое значение функции y=x/25+x^2 достигает на луче [0;+∞)? (ответ введи в виде сокращенной дроби): Назови стационарные

Magicheskiy_Labirint_5368

31

Для начала определим, какое значение функции \(y\) достигает на луче \([0;+\infty)\). Для этого подставим различные значения аргумента \(x\) и найдем соответствующие значения функции.

Подставим \(x = 0\):
\[y = \frac{0}{25} + 0^2 = 0\]

Подставим \(x = 1\):
\[y = \frac{1}{25} + 1^2 = \frac{1}{25} + 1 = \frac{26}{25}\]

Продолжим подставлять значения \(x\) и составим таблицу:

| \(x\) | \(y\) |
|-------|---------------------|
| 0 | 0 |
| 1 | \(\frac{26}{25}\) |
| 2 | \(\frac{54}{25}\) |
| 3 | \(\frac{10}{5}\) |
| 4 | \(\frac{94}{25}\) |
| 5 | \(\frac{130}{25}\) |
| 6 | \(\frac{166}{25}\) |
| 7 | \(\frac{202}{25}\) |
| 8 | \(\frac{20}{5}\) |
| 9 | \(\frac{274}{25}\) |
| ... | ... |

Мы видим, что функция \(y\) возрастает на луче \([0;+\infty)\) и ее значения становятся все больше. Это означает, что на данном луче значение функции \(y\) стремится к плюс бесконечности (\(+\infty\)).

Теперь рассмотрим стационарные точки функции. Стационарные точки — это значения \(x\), при которых производная функции равна нулю или не существует. Для этой функции необходимо найти ее производную и решить уравнение \(\frac{{dy}}{{dx}} = 0\) для \(x\).

Итак, возьмем производную:
\[\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{1}}{{25}} + 2x\]

Решим уравнение \(\frac{{dy}}{{dx}} = 0\):
\[\frac{{1}}{{25}} + 2x = 0\]
\[2x = -\frac{{1}}{{25}}\]
\[x = -\frac{{1}}{{50}}\]

Таким образом, стационарная точка функции равна \(x = -\frac{{1}}{{50}}\).

Ответ:

Значение функции \(y\) на луче \([0;+\infty)\) стремится к плюс бесконечности (\(+\infty\)).

Стационарная точка функции: \(x = -\frac{{1}}{{50}}\).

Пошаговое решение:
1. Подставляем значения \(x\) в функцию и находим соответствующие значения \(y\).
2. Замечаем, что значения \(y\) на луче \([0;+\infty)\) увеличиваются.
3. Значит, функция \(y\) на этом луче стремится к плюс бесконечности (\(+\infty\)).
4. Для нахождения стационарной точки, берем производную функции и решаем уравнение \(\frac{{dy}}{{dx}} = 0\).
5. Находим, что стационарная точка для данной функции равна \(x = -\frac{{1}}{{50}}\).

Ответ в виде сокращенной дроби: стационарная точка не совпадает ни с одним из предложенных вариантов ответа.