Какое значение h обеспечит наибольшую освещенность границы круглой площадки радиуса r при источнике света, находящемся

Chereshnya

42

Для того чтобы найти значение h, обеспечивающее наибольшую освещенность границы круглой площадки радиуса r, нам необходимо найти максимум функции освещенности относительно переменной h.

По формуле освещенности, e = kh/(h^2 + r^2)^(3/2), мы можем заметить, что освещенность зависит от двух переменных - h и r.

Для начала, нам нужно найти производную этой функции по переменной h. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования функции деления. Правило гласит: если у нас есть функция u(h) и v(h) их отношение f(h) = u(h)/v(h), то её производная равна f"(h) = (u"(h)v(h) - u(h)v"(h))/(v(h))^2.

Давайте воспользуемся этим правилом для нашей функции освещенности. Первым шагом найдем производную числителя и знаменателя нашей функции освещенности:

u(h) = kh
u"(h) = k

v(h) = (h^2 + r^2)^(3/2)
v"(h) = 3(h^2 + r^2)^(1/2) * 2h

Теперь, зная производные числителя и знаменателя, мы можем вычислить производную функции освещенности e(h):

e"(h) = (k * (h^2 + r^2)^(3/2) - kh * 3(h^2 + r^2)^(1/2) * 2h) / (h^2 + r^2)^3

Теперь, чтобы найти максимум функции освещенности, мы приравниваем её производную к нулю:

e"(h) = 0

Подставим производную функции e(h) и решим получившееся уравнение относительно h:

(k * (h^2 + r^2)^(3/2) - kh * 3(h^2 + r^2)^(1/2) * 2h) / (h^2 + r^2)^3 = 0

Решать данное уравнение в аналитической форме сложно из-за присутствия степени 3/2, поэтому я предлагаю воспользоваться численными методами для решения этого уравнения.

Подставьте значения k и r в формулу и проведите численные вычисления, используя компьютер или калькулятор. Полученное значение h будет обеспечивать наибольшую освещенность границы круглой площадки.