Какое значение х приведет к коллинеарности векторов а (х; 8) и в (-25; 5)? Какое значение х приведет

Sokol

62

Для начала, давайте вспомним основные понятия векторов. Вектором называется направленный отрезок, который обладает значением длины (модуля) и направлением. Два вектора считаются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или параллельны друг другу. Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов.

Для решения этой задачи, нам нужно установить условия коллинеарности и перпендикулярности между двумя данными векторами.

Для коллинеарности, векторы а и в должны быть параллельными. Параллельные векторы имеют одинаковые или противоположные направления. Поэтому, чтобы векторы а (х; 8) и в (-25; 5) были коллинеарными, их направления должны быть либо одинаковыми, либо противоположными.

Чтобы проверить это, мы можем рассмотреть отношения соответствующих компонент векторов. Вектор а имеет компоненты (х; 8), а вектор в имеет компоненты (-25; 5).

Параллельные векторы имеют отношение компонент, которое является постоянным значением. Давайте найдем отношения:
\[
\frac{x}{-25} = \frac{8}{5}
\]

Чтобы решить это уравнение, мы можем умножить обе стороны на значение, обратное к -25:
\[
x = -25 \cdot \frac{8}{5}
\]

Упрощая это выражение, мы получаем:
\[
x = -40
\]

Таким образом, значение х, при котором векторы а (х; 8) и в (-25; 5) будут коллинеарными, равно -40.

Теперь давайте рассмотрим перпендикулярность векторов а (х; 8) и в (-25; 5). Для того чтобы векторы были перпендикулярными, их скалярное произведение должно быть равно нулю.

Скалярное произведение двух векторов можно найти следующим образом:
\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y
\]

Где \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) - векторы, \(a_x\) и \(b_x\) - компоненты вектора \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) соответственно, \(a_y\) и \(b_y\) - другие компоненты вектора \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\).

Применяя это к нашей задаче, мы получаем:
\[
(x \cdot -25) + (8 \cdot 5) = 0
\]

Упрощая это выражение, мы получаем:
\[
-25x + 40 = 0
\]

Решая это уравнение, мы получаем:
\[
x = \frac{40}{25}
\]

Упрощая эту дробь, мы получаем:
\[
x = \frac{8}{5}
\]

Таким образом, значение х, при котором векторы а (х; 8) и в (-25; 5) будут перпендикулярными, равно \(\frac{8}{5}\).

Итак, для достижения коллинеарности векторов а (х; 8) и в (-25; 5), \(x\) должно быть равно -40. А для достижения перпендикулярности этих векторов, \(x\) должно быть равно \(\frac{8}{5}\).