Какое значение имеет частное между комплексными числами z1=3-i и z2=1-7i?

Ivan

10

Чтобы найти частное между двумя комплексными числами \(z_1 = 3 - i\) и \(z_2 = 1 - 7i\), мы можем использовать формулу деления комплексных чисел. Формула выглядит следующим образом:

\[
\frac{{z_1}}{{z_2}} = \frac{{(a + bi)}}{{(c + di)}}
\]

где \(a\) и \(b\) - это действительные части числа \(z_1\), а \(c\) и \(d\) - это действительные части числа \(z_2\).

Давайте решим эту задачу пошагово.

1. Сначала представим числа \(z_1\) и \(z_2\) в виде \(a + bi\) и \(c + di\).
\[
z_1 = 3 - i = 3 + (-1)i
\]
\[
z_2 = 1 - 7i = 1 + (-7)i
\]

Таким образом, \(a = 3\), \(b = -1\), \(c = 1\) и \(d = -7\).

2. Теперь мы можем подставить значения в формулу и произвести вычисления:
\[
\frac{{z_1}}{{z_2}} = \frac{{(3 + (-1)i)}}{{(1 + (-7)i)}}
\]

3. Чтобы упростить дробь, мы умножим числитель и знаменатель на комплексное сопряжение знаменателя, то есть на числитель \(1 + 7i\). Обратите внимание, что при умножении на комплексное сопряжение, произведение будет иметь только действительную часть, так что в знаменателе не будет комплексной части \(i\).
\[
\frac{{(3 + (-1)i)}}{{(1 + (-7)i)}} \cdot \frac{{(1 + 7i)}}{{(1 + 7i)}} = \frac{{(3 + (-1)i)(1 + 7i)}}{{(1 + (-7i))(1 + 7i)}}
\]

4. Выполним умножение числителя и знаменателя:
\[
\frac{{(3 + (-1)i)(1 + 7i)}}{{(1 + (-7i))(1 + 7i)}} = \frac{{(3 + 21i - 1i - 7i^2)}}{{(1 + 7i - 7i - 49i^2)}}
\]

5. Раскроем квадраты комплексного числа \(i\):
Помним, что \(i^2 = -1\).
\[
\frac{{(3 + 21i - 1i - 7i^2)}}{{(1 + 7i - 7i - 49i^2)}} = \frac{{(3 + 20i - 7i^2)}}{{(1 - 49i^2)}}
\]
Так как \(i^2 = -1\), можно заменить \(-7i^2\) на 7.
\[
\frac{{(3 + 20i + 7)}}{{(1 - 49(-1))}} = \frac{{(10 + 20i)}}{{(1 + 49)}} = \frac{{10 + 20i}}{{50}} = \frac{{2(5 + 10i)}}{{50}} = \frac{{5 + 10i}}{{25}} = \frac{{(1 + 2i)}}{{5}}
\]

Общим выводом является то, что частное между комплексными числами \(z_1 = 3 - i\) и \(z_2 = 1 - 7i\) равно \(\frac{{1 + 2i}}{{5}}\).