Какое значение имеет член прогрессии, обозначенный буквой x, если предоставлены несколько последовательных членов

Утконос

41

Для решения этой задачи необходимо определить закономерность, по которой строится данная геометрическая прогрессия. Обозначим первый член прогрессии через \(a\), а знаменатель геометрической прогрессии через \(q\).

Известные нам члены прогрессии: 120, \(x\), 7.5, 1.875.

Для нахождения недостающего значения \(x\) можно использовать формулу для \(n\)-го члена геометрической прогрессии:

\[a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}.\]

Таким образом, если мы знаем, что \(a_2 = 120\), \(a_3 = 7.5\) и \(a_4 = 1.875\), то мы можем записать следующие равенства:

\[120 = a_1 \cdot q,\]
\[7.5 = a_1 \cdot q^2,\]
\[1.875 = a_1 \cdot q^3.\]

Давайте воспользуемся первым равенством, чтобы выразить \(a_1\) через \(q\):

\[a_1 = \frac{120}{q}.\]

Теперь мы можем подставить это выражение для \(a_1\) во второе и третье уравнения:

\[7.5 = \frac{120}{q} \cdot q^2 = 120q,\]
\[1.875 = \frac{120}{q} \cdot q^3 = 120q^2.\]

Разделим второе уравнение на первое:

\[\frac{1.875}{7.5} = \frac{120q^2}{120q}.\]

Упростим это выражение:

\[0.25 = q.\]

Теперь мы знаем значение \(q\). Чтобы найти значение \(a_1\) и, следовательно, \(x\), подставим найденное значение \(q\) в первое уравнение:

\[120 = a_1 \cdot 0.25.\]

Разделим обе части этого уравнения на 0.25:

\[a_1 = \frac{120}{0.25} = 480.\]

Таким образом, мы нашли значение первого члена геометрической прогрессии (\(a_1\)), которое равно 480. Значение члена прогрессии, обозначенного буквой \(x\), будет также равно 480.

Итак, ответ: \(x = 480\).