Какое значение имеет производная функции у=tg3x в точке х=-π/4?

Алексеевич

35

Хорошо, давайте рассмотрим задачу. У нас дана функция \(у = \tg(3x)\), и нам нужно найти значение ее производной в точке \(x = -\frac{\pi}{4}\).

Производная функции показывает нам, как изменяется значение функции с изменением ее аргумента. Мы можем найти производную функции, используя правило дифференцирования для тригонометрических функций, а именно, правило дифференцирования для тангенса. Это правило гласит:

\[
\frac{d}{dx}(\tg(x)) = \sec^2(x)
\]

Здесь \(\sec(x)\) обозначает секанс, который является обратной функцией косинуса \(\cos(x)\). Теперь мы можем приступить к вычислению производной.

Применим правило дифференцирования тангенса к нашей функции. Получим:

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\tg(3x)) = 3\sec^2(3x)
\]

Теперь мы имеем производную функции \(у = \tg(3x)\), и она равна \(3\sec^2(3x)\). Чтобы найти значение производной в точке \(x = -\frac{\pi}{4}\), нужно подставить это значение в формулу:

\[
\frac{dy}{dx} \Bigg|_{x = -\frac{\pi}{4}} = 3\sec^2\left(3\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)
\]

Давайте вычислим значение производной. Подставляя \(x = -\frac{\pi}{4}\) в формулу, получаем:

\[
\frac{dy}{dx} \Bigg|_{x = -\frac{\pi}{4}} = 3\sec^2\left(-\frac{3\pi}{4}\right)
\]

\[
= 3\sec^2\left(-\frac{\pi}{4}\right)
\]

Теперь нам нужно вычислить значение секанса в точке \(-\frac{\pi}{4}\). Секанс - это обратная функция косинуса, поэтому мы можем записать:

\[
\sec\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)}
\]

Так как косинус \(\cos\) имеет период \(2\pi\), он принимает такие же значения при аргументах \(-\frac{\pi}{4}\) и \(\frac{7\pi}{4}\), то есть:

\[
\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{7\pi}{4}\right)
\]

Известно, что значение косинуса при аргументе \(\frac{\pi}{4}\) равно \(\frac{\sqrt{2}}{2}\), поэтому:

\[
\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{7\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Теперь мы можем найти значение секанса:

\[
\sec\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{2}
\]

Итак, значение секанса \(\sec\left(-\frac{\pi}{4}\right)\) равно \(\sqrt{2}\). Теперь, подставляем это значение обратно в формулу производной:

\[
\frac{dy}{dx} \Bigg|_{x = -\frac{\pi}{4}} = 3\sec^2\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 3(\sqrt{2})^2 = 3 \cdot 2 = 6
\]

Таким образом, мы получаем, что значение производной функции \(\frac{dy}{dx}\) в точке \(x = -\frac{\pi}{4}\) равно 6.