Какое значение имеет выражение (√25a^9*√16b^8) / √a^5 b^8 при a=4 и b=7?

Magiya_Morya

58

Конечно! Давайте разберемся с этим математическим выражением пошагово, чтобы ответ был понятен школьнику.

Итак, у нас дано выражение: \(\frac{{\sqrt{{25a^9}} \cdot \sqrt{{16b^8}}}}{{\sqrt{{a^5b^8}}}}\) при значениях \(a = 4\) и \(b = 7\).

1. Давайте начнем с простого: возведение в квадрат. Мы знаем, что \(\sqrt{{x^2}} = x\) для любого положительного числа \(x\).
Таким образом, \(\sqrt{{25a^9}} = 5a^4\) и \(\sqrt{{16b^8}} = 4b^4\).

2. Теперь, когда у нас есть новые значения для корней, нам нужно упростить числитель и знаменатель.
Числитель: \(5a^4 \cdot 4b^4 = 20a^4b^4\).
Знаменатель: \(\sqrt{{a^5b^8}} = \sqrt{{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot b^8}}\).
Так как знаменатель является корнем, мы можем применить свойство корня: \(\sqrt{{xy}} = \sqrt{{x}} \cdot \sqrt{{y}}\).
Применяя это свойство, мы получаем: \(\sqrt{{a^5b^8}} = \sqrt{{a^4}} \cdot \sqrt{{a}} \cdot \sqrt{{b^4}} \cdot \sqrt{{b^4}} = a^2b^4\).

3. Теперь, когда у нас есть упрощенный числитель и знаменатель, мы можем объединить эти значения и решить их.
Новое выражение выглядит так: \(\frac{{20a^4b^4}}{{a^2b^4}}\).

4. Мы можем сократить \(b^4\) в числителе и знаменателе, оставив только \(20a^4\) в числителе, и теперь у нас остается \(\frac{{20a^4}}{{a^2}}\).

5. Теперь давайте упростим это выражение, поделив \(a^4\) на \(a^2\).
Деление одинаковых баз с одинаковыми показателями дает нам: \(20a^{4-2} = 20a^2\).

6. Таким образом, при значениях \(a = 4\) и \(b = 7\), исходное выражение имеет значение \(20 \cdot 4^2 = 320\).

Ответ: Значение выражения \(\frac{{\sqrt{{25a^9}} \cdot \sqrt{{16b^8}}}}{{\sqrt{{a^5b^8}}}}\) при \(a = 4\) и \(b = 7\) равно 320.