Как нужно изменить коэффициенты, чтобы равенство стало верным: (2a + b)^3 = a^3 + a^2b + ab^2

Поющий_Хомяк

20

Для того чтобы равенство \((2a + b)^3 = a^3 + a^2b + ab^2\) стало верным, нужно изменить коэффициенты перед каждым членом выражений таким образом, чтобы они соответствовали друг другу. Давайте приступим к решению задачи.

Вычислим сначала левую часть равенства \((2a + b)^3\):

\((2a + b)^3 = (2a + b)(2a + b)(2a + b)\)

Применяя формулу для возведения трехчлена в куб, получаем:

\((2a + b)^3 = (4a^2 + 4ab + b^2)(2a + b)\)

\((2a + b)^3 = 8a^3 + 8a^2b + 4ab^2 + 2a^2b + 2ab^2 + b^3\)

\((2a + b)^3 = 8a^3 + 10a^2b + 6ab^2 + b^3\)

Аналогично, вычислим правую часть равенства \(a^3 + a^2b + ab^2\):

Правая часть равенства уже задана и не требует изменений.

Теперь сравним коэффициенты при одинаковых членах в левой и правой частях равенства для того, чтобы определить, какие коэффициенты необходимо изменить.

Приравниваем:

\(\begin{cases} 8a^3 = a^3 \\ 10a^2b = a^2b \\ 6ab^2 = ab^2 \\ b^3 = ab^2 \end{cases}\)

Отсюда видно, что коэффициенты при \(a^3\) и \(a^2b\) в левой части равенства необходимо изменить так, чтобы они равнялись 1.

Итак, для того чтобы равенство стало верным, можно изменить коэффициенты следующим образом:

\((2a + b)^3 = a^3 + a^2b + ab^2\)