Каково произведение первого и седьмого членов данной арифметической прогрессии, если разность равна 6 и сумма первых

Магический_Кот

43

Дана арифметическая прогрессия, в которой разность между членами равна 6 и сумма первых 7 членов равна 161. Мы должны найти произведение первого и седьмого членов этой прогрессии.

Для начала, выразим формулу общего члена арифметической прогрессии. Обозначим первый член как \(a_1\) и разность как \(d\). Тогда общий член \(a_n\) выражается следующей формулой:

\[a_n = a_1 + (n-1)d\]

Зная, что разность равна 6, мы можем записать общий член как:

\[a_n = a_1 + 6(n-1)\]

Теперь нам нужно использовать информацию о сумме первых 7 членов, чтобы найти \(a_1\). Сумма первых n членов арифметической прогрессии выражается следующей формулой:

\[S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\]

Подставим значения в формулу и рассчитаем сумму первых 7 членов:

\[161 = \frac{7}{2}(a_1 + a_1 + 6(7-1))\]
\[161 = \frac{7}{2}(2a_1 + 6(6))\]
\[161 = \frac{7}{2}(2a_1 + 36)\]

Теперь нам нужно решить это уравнение для нахождения \(a_1\). Раскроем скобки и упростим его:

\[161 = \frac{7}{2}(2a_1 + 36)\]
\[161 = 7a_1 + 126\]
\[7a_1 = 161 - 126\]
\[7a_1 = 35\]
\[a_1 = \frac{35}{7}\]
\[a_1 = 5\]

Таким образом, мы получили значение первого члена \(a_1 = 5\).

Теперь найдем седьмой член арифметической прогрессии. Подставим \(n = 7\) в формулу общего члена:

\[a_7 = 5 + 6(7-1)\]
\[a_7 = 5 + 6(6)\]
\[a_7 = 5 + 36\]
\[a_7 = 41\]

Теперь, чтобы найти произведение первого и седьмого членов, умножим их:

\[a_1 \times a_7 = 5 \times 41\]
\[a_1 \times a_7 = 205\]

Таким образом, произведение первого и седьмого членов данной арифметической прогрессии равно 205.