Какое значение имеет выражение cos a + 3cos B для вектора а(-2;3;6)?

Ledyanaya_Magiya_7323

46

Для начала, давайте вспомним формулу вычисления косинуса угла между двумя векторами:

\[\cos \theta = \frac{{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}}}{{\|\mathbf{A}\| \|\mathbf{B}\|}}\]

где \(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}\) обозначает скалярное произведение векторов \(\mathbf{A}\) и \(\mathbf{B}\), а \(\|\mathbf{A}\|\) и \(\|\mathbf{B}\|\) - их длины соответственно.

Теперь применим эту формулу к данной задаче:

1. Вектор \(\mathbf{a}\) имеет координаты (-2, 3, 6).
2. Чтобы вычислить значение косинуса угла \(a\) между вектором \(\mathbf{a}\) и осью X, необходимо вычислить скалярное произведение вектора \(\mathbf{a}\) на вектор (1, 0, 0), а также длины этих векторов.
\[\cos a = \frac{{\mathbf{a} \cdot \mathbf{e}_x}}{{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{e}_x\|}}\]
\[\cos a = \frac{{-2 \cdot 1 + 3 \cdot 0 + 6 \cdot 0}}{{\sqrt{{(-2)^2 + 3^2 + 6^2}} \cdot 1}}\]
\[\cos a = \frac{{-2}}{{\sqrt{{49}}}} = -\frac{2}{7}\]

3. Теперь, чтобы вычислить значение косинуса угла \(B\) между вектором \(\mathbf{a}\) и осью Y, необходимо вычислить скалярное произведение вектора \(\mathbf{a}\) на вектор (0, 1, 0), а также длины этих векторов.
\[\cos B = \frac{{\mathbf{a} \cdot \mathbf{e}_y}}{{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{e}_y\|}}\]
\[\cos B = \frac{{-2 \cdot 0 + 3 \cdot 1 + 6 \cdot 0}}{{\sqrt{{(-2)^2 + 3^2 + 6^2}} \cdot 1}}\]
\[\cos B = \frac{{3}}{{\sqrt{{49}}}} = \frac{3}{7}\]

4. Теперь мы можем вычислить значение выражения \(\cos a + 3 \cos B\):
\[\cos a + 3 \cos B = -\frac{2}{7} + 3 \cdot \frac{3}{7} = -\frac{2}{7} + \frac{9}{7} = \frac{7}{7} = 1\]

Итак, значение выражения \(\cos a + 3 \cos B\) для вектора \(\mathbf{a}(-2;3;6)\) равно 1.