Какое значение имеют длины отрезков CB, CH и AH в прямоугольном треугольнике ABC, где проведена высота CH к гипотенузе

Скрытый_Тигр

45

Данная задача требует нахождения значений трех отрезков в прямоугольном треугольнике ABC, а также отношения, в котором высота CH делит площадь треугольника ABC. Давайте решим ее по шагам.

Шаг 1: Найдем длину отрезка CB.
Известно, что высота CH проведена к гипотенузе AB. Поскольку треугольник ABC — прямоугольный, то гипотенуза является самым длинным из трех сторон. Значит, гипотенуза AB имеет длину 3 см. Поскольку CH — высота, она образует прямой угол с гипотенузой AB. Так как мы знаем, что AC — другая сторона треугольника ABC — равна 2 см, то CH и CB вместе образуют гипотенузу AB. Значит, длина отрезка CB равна разности длины гипотенузы AB и стороны AC:

\[CB = AB - AC = 3 \, \text{см} - 2 \, \text{см} = 1 \, \text{см}\]

Таким образом, длина отрезка CB равна 1 см.

Шаг 2: Найдем длину отрезка CH.
Так как CH — высота, она образует прямой угол с гипотенузой AB. По определению прямоугольного треугольника, вторая высота, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на два подобных прямоугольных треугольника с подобными соотношениями сторон. Из подобия треугольников, получаем следующее соотношение:

\[\frac{{CH}}{{CB}} = \frac{{AH}}{{AB}}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{{CH}}{{1 \, \text{см}}} = \frac{{AH}}{{3 \, \text{см}}}\]

Перемножим значения по обе стороны уравнения:

\[CH \cdot 3 \, \text{см} = 1 \, \text{см} \cdot AH\]

Теперь можно выразить CH через AH:

\[CH = \frac{{1 \, \text{см} \cdot AH}}{{3 \, \text{см}}} = \frac{{AH}}{{3}}\]

Таким образом, длина отрезка CH равна \(\frac{{AH}}{{3}}\) см.

Шаг 3: Найдем длину отрезка AH.
Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольных треугольников: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. В данном случае гипотенуза AB равна 3 см, и один катет AC равен 2 см. Найдем катет AH:

\[AH^2 = AB^2 - AC^2 = 3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5\]

Теперь найдем длину отрезка AH, извлекая квадратный корень:

\[AH = \sqrt{5} \, \text{см}\]

Таким образом, длина отрезка AH равна \(\sqrt{5}\) см.

Шаг 4: Найдем отношение, в котором высота CH делит площадь треугольника ABC.
Площадь прямоугольного треугольника ABC можно найти с помощью формулы:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH\]

Подставим известные значения:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 3 \, \text{см} \cdot CH\]

Теперь заменим CH на \(\frac{{AH}}{{3}}\) см:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 3 \, \text{см} \cdot \frac{{AH}}{{3}} = \frac{1}{2} \cdot AH \, \text{см} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5} \, \text{см}\]

Таким образом, высота CH делит площадь треугольника ABC в отношении 1:2.

В результате решения задачи получили следующие значения:
- Длина отрезка CB равна 1 см.
- Длина отрезка CH равна \(\frac{{AH}}{{3}}\) см.
- Длина отрезка AH равна \(\sqrt{5}\) см.
- Высота CH делит площадь треугольника ABC в отношении 1:2.