Какое значение изменения температуры (дельта) t необходимо для изменения объема газа в B раз, если его давление

Eva

22

Чтобы найти значение изменения температуры (обозначим его как \(\Delta t\)), необходимое для изменения объема газа в \(B\) раз при изменении давления в \(2,5\) раза и выпуске \(10\%\) газа из сосуда, мы можем использовать закон Бойля–Мариотта.

Закон Бойля–Мариотта утверждает, что при постоянной температуре абсолютное давление газа \(P\) и его объем \(V\) связаны следующим образом:

\[P_1 \cdot V_1 = P_2 \cdot V_2\]

Где значения с индексами 1 относятся к начальному состоянию газа, а значения с индексами 2 - к конечному состоянию.

Также нам дано, что давление газа изменяется в \(2,5\) раза, поэтому:

\[P_2 = 2,5 \cdot P_1\]

Мы знаем, что \(V_2 = B \cdot V_1\) (так как объем газа изменяется в \(B\) раз), и что \(P_2 = 2,5 \cdot P_1\), поэтому мы можем подставить эти значения в уравнение Бойля–Мариотта:

\[P_1 \cdot V_1 = (2,5 \cdot P_1) \cdot (B \cdot V_1)\]

Далее нам нужно учесть, что выпускается \(10\%\) газа из сосуда. Это означает, что объем газа уменьшается в \(10\%\) и становится равным \(0,9 \cdot V_1\). Подставим это значение в уравнение:

\[P_1 \cdot V_1 = (2,5 \cdot P_1) \cdot (B \cdot (0,9 \cdot V_1))\]

Нам осталось только решить уравнение относительно \(\Delta t\). Выразим \(P_1\) через \(\Delta t\) с использованием уравнения состояния идеального газа \(P_1 \cdot V_1 = n \cdot R \cdot T_1\), где \(n\) - количество вещества газа, \(R\) - универсальная газовая постоянная, \(T_1\) - начальная температура:

\[\frac{{P_1 \cdot V_1}}{{T_1}} = n \cdot R\]

\[P_1 \cdot V_1 = (n \cdot R) \cdot T_1\]

Отсюда можем выразить \(P_1\) в уравнении Бойля–Мариотта:

\[(n \cdot R) \cdot T_1 = (2,5 \cdot (n \cdot R)) \cdot (B \cdot (0,9 \cdot V_1))\]

Далее выразим \(T_1\) через \(\Delta t\) с использованием уравнения состояния идеального газа \(P_1 \cdot V_1 = n \cdot R \cdot T_1\):

\[(n \cdot R) \cdot (T_1 + \Delta t) = (2,5 \cdot (n \cdot R)) \cdot (B \cdot (0,9 \cdot V_1))\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \(\Delta t\):

\[(T_1 + \Delta t) = 2,5 \cdot (B \cdot (0,9 \cdot V_1))\]

\[\Delta t = (2,5 \cdot (B \cdot (0,9 \cdot V_1))) - T_1\]

Окончательный ответ:

\(\Delta t = 2,5 \cdot B \cdot 0,9 \cdot V_1 - T_1\)