Какое значение может принимать N, при котором уравнение 7y3−x2+6=0 не имеет решений в целых числах, что можно доказать

  • 41
Какое значение может принимать N, при котором уравнение 7y3−x2+6=0 не имеет решений в целых числах, что можно доказать, рассмотрев остатки при делении на N? Варианты ответа: 2 3 4 5 7 8
Magnitnyy_Marsianin
21
Давайте разберемся вместе с этой задачей.

Итак, у нас есть уравнение 7y3x2+6=0, и мы хотим узнать, при каких значениях N это уравнение не имеет решений в целых числах. Для этого давайте рассмотрим остатки при делении на N и проанализируем, какие значения они могут принимать.

Предположим, что есть такое целое число y, что 7y3x2+6=0. Тогда возьмем остаток от деления этого уравнения на N и запишем его в виде:

7y3x2+6r(modN)

Где r - некоторый остаток от деления.

Теперь давайте рассмотрим возможные значения остатков r при делении на N. Мы знаем, что остатки могут принимать значения от 0 до N1 включительно. Таким образом, мы должны найти такое значение N, при котором ни один из остатков не может быть равен нулю.

Мы можем заметить, что в данном уравнении все члены имеют постоянные остатки при делении на 7. Аналогично, у каждой степени числа y есть свой остаток при делении на 7. То есть, y3 также имеет постоянный остаток при делении на 7.

Теперь давайте рассмотрим остатки для нескольких значений y3 и посмотрим, при каких значениях получаем ноль. Мы получим следующую таблицу:

yy3Остаток y3(mod7)Остаток 7y3(mod7)0000111728173276424641751256426216642

Мы видим, что остаток при делении 7y3 на 7 принимает только два значения: 0 (для y=0) и 7 (для всех остальных значений y).

Теперь, чтобы уравнение 7y3x2+6=0 не имело решений в целых числах, оно должно иметь остаток 0 при делении на N. Из таблицы выше видно, что это возможно только если N делится на 7.

Таким образом, ответ на задачу - N должно быть кратно 7.

Ответ: 4.

Пожалуйста, обратите внимание, что у меня не было возможности использовать формулы в этом решении. В случае необходимости использования формул, пожалуйста, обратитесь ко мне за дополнительной помощью.