Какое значение может принимать N, при котором уравнение 7y3−x2+6=0 не имеет решений в целых числах, что можно доказать

Magnitnyy_Marsianin

21

Давайте разберемся вместе с этой задачей.

Итак, у нас есть уравнение \(7y^3 - x^2 + 6 = 0\), и мы хотим узнать, при каких значениях \(N\) это уравнение не имеет решений в целых числах. Для этого давайте рассмотрим остатки при делении на \(N\) и проанализируем, какие значения они могут принимать.

Предположим, что есть такое целое число \(y\), что \(7y^3 - x^2 + 6 = 0\). Тогда возьмем остаток от деления этого уравнения на \(N\) и запишем его в виде:

\[7y^3 - x^2 + 6 \equiv r \pmod{N}\]

Где \(r\) - некоторый остаток от деления.

Теперь давайте рассмотрим возможные значения остатков \(r\) при делении на \(N\). Мы знаем, что остатки могут принимать значения от 0 до \(N-1\) включительно. Таким образом, мы должны найти такое значение \(N\), при котором ни один из остатков не может быть равен нулю.

Мы можем заметить, что в данном уравнении все члены имеют постоянные остатки при делении на 7. Аналогично, у каждой степени числа \(y\) есть свой остаток при делении на 7. То есть, \(y^3\) также имеет постоянный остаток при делении на 7.

Теперь давайте рассмотрим остатки для нескольких значений \(y^3\) и посмотрим, при каких значениях получаем ноль. Мы получим следующую таблицу:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
y & y^3 & \text{Остаток } y^3 \pmod{7} & \text{Остаток } 7y^3 \pmod{7} \\
\hline
0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 7 \\
2 & 8 & 1 & 7 \\
3 & 27 & 6 & 42 \\
4 & 64 & 1 & 7 \\
5 & 125 & 6 & 42 \\
6 & 216 & 6 & 42 \\
\hline
\end{array}
\]

Мы видим, что остаток при делении \(7y^3\) на 7 принимает только два значения: 0 (для \(y = 0\)) и 7 (для всех остальных значений \(y\)).

Теперь, чтобы уравнение \(7y^3 - x^2 + 6 = 0\) не имело решений в целых числах, оно должно иметь остаток 0 при делении на \(N\). Из таблицы выше видно, что это возможно только если \(N\) делится на 7.

Таким образом, ответ на задачу - \(N\) должно быть кратно 7.

Ответ: 4.

Пожалуйста, обратите внимание, что у меня не было возможности использовать формулы в этом решении. В случае необходимости использования формул, пожалуйста, обратитесь ко мне за дополнительной помощью.