Какое значение может принимать N, при котором уравнение 7y3−x2+6=0 не имеет решений в целых числах, что можно доказать

Magnitnyy_Marsianin

21

Давайте разберемся вместе с этой задачей.

Итак, у нас есть уравнение $7y^3-x^2+6=0$, и мы хотим узнать, при каких значениях $N$ это уравнение не имеет решений в целых числах. Для этого давайте рассмотрим остатки при делении на $N$ и проанализируем, какие значения они могут принимать.

Предположим, что есть такое целое число $y$, что $7y^3-x^2+6=0$. Тогда возьмем остаток от деления этого уравнения на $N$ и запишем его в виде:

$$7y^3-x^2+6\equiv r(\mathrm{mod}N)$$

Где $r$ - некоторый остаток от деления.

Теперь давайте рассмотрим возможные значения остатков $r$ при делении на $N$. Мы знаем, что остатки могут принимать значения от 0 до $N-1$ включительно. Таким образом, мы должны найти такое значение $N$, при котором ни один из остатков не может быть равен нулю.

Мы можем заметить, что в данном уравнении все члены имеют постоянные остатки при делении на 7. Аналогично, у каждой степени числа $y$ есть свой остаток при делении на 7. То есть, $y^3$ также имеет постоянный остаток при делении на 7.

Теперь давайте рассмотрим остатки для нескольких значений $y^3$ и посмотрим, при каких значениях получаем ноль. Мы получим следующую таблицу:

$$\begin{array}{|cccc|}\hline y& y^3& \text{Остаток }{y}^3(\mathrm{mod}7)& \text{Остаток }7y^3(\mathrm{mod}7)\\ 0& 0& 0& 0\\ 1& 1& 1& 7\\ 2& 8& 1& 7\\ 3& 27& 6& 42\\ 4& 64& 1& 7\\ 5& 125& 6& 42\\ 6& 216& 6& 42\\ \hline\end{array}$$

Мы видим, что остаток при делении $7y^3$ на 7 принимает только два значения: 0 (для $y=0$) и 7 (для всех остальных значений $y$).

Теперь, чтобы уравнение $7y^3-x^2+6=0$ не имело решений в целых числах, оно должно иметь остаток 0 при делении на $N$. Из таблицы выше видно, что это возможно только если $N$ делится на 7.

Таким образом, ответ на задачу - $N$ должно быть кратно 7.

Ответ: 4.

Пожалуйста, обратите внимание, что у меня не было возможности использовать формулы в этом решении. В случае необходимости использования формул, пожалуйста, обратитесь ко мне за дополнительной помощью.