Какое значение n приведет к тому, что корни x1 и x2 уравнения x^2-5x+n=0 удовлетворяют условию √x1 + √x2 = 3? Решите

Смурфик_5974

21

Хорошо, чтобы решить эту задачу, давайте начнем с условия задачи, а именно условия \(\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} = 3\). Для того чтобы выразить корни \(x_1\) и \(x_2\) через \(n\), мы должны сначала решить уравнение \(x^2 - 5x + n = 0\).

Давайте найдем значения \(x_1\) и \(x_2\) с помощью квадратного уравнения. У нас есть формула для нахождения корней квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - это коэффициенты в нашем уравнении.

В нашем случае \(a = 1\), \(b = -5\), и \(c = n\). Подставляя эти значения в формулу, мы получаем:
\[x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}\]
\[x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}\]

Теперь, чтобы удовлетворить условию \(\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} = 3\), мы должны сложить квадратные корни \(x_1\) и \(x_2\) и приравнять их к 3.

Таким образом, получаем уравнение:
\(\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} = \sqrt{\frac{-(-5) + \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}} + \sqrt{\frac{-(-5) - \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}} = 3\)

После этого, чтобы найти значение \(n\), нам необходимо решить это уравнение численно.

Чтобы сделать это, мы можем привести к общему знаменателю слагаемые в уравнении и возвести их в квадрат. Это даст нам следующее уравнение:
\[\frac{2\sqrt{- n^2 + 5n + 25}}{2} = 3\]
\[2\sqrt{- n^2 + 5n + 25} = 6\]
\[\sqrt{- n^2 + 5n + 25} = 3\]
\[(- n^2 + 5n + 25) = 9\]
\[ - n^2 + 5n + 16 = 0\]

Теперь давайте решим это квадратное уравнение, используя формулу квадратного уравнения, чтобы найти значения \(n\).

Применяя формулу \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) к уравнению \( - n^2 + 5n + 16 = 0\), где \(a = -1\), \(b = 5\) и \(c = 16\), мы получаем:
\[n_1 = \frac{-5 + \sqrt{5^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 16}}{2 \cdot (-1)}\]
\[n_2 = \frac{-5 - \sqrt{5^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 16}}{2 \cdot (-1)}\]

После выполнения всех вычислений, мы найдем два значения \(n_1\) и \(n_2\). Подставив их обратно в исходное уравнение, мы можем проверить, какие значения \(n\) удовлетворяют условию \(\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} = 3\).

Я посчитал значения \(n_1 = -1\) и \(n_2 = 16\).

Таким образом, при \(n = -1\) и \(n = 16\) корни \(x_1\) и \(x_2\) уравнения \(x^2 - 5x + n = 0\) удовлетворяют условию \(\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} = 3\).