Какое значение x удовлетворяет неравенству х²(5-х) < 0? Какое значение x удовлетворяет неравенству х²-18х+81

Солнечная_Луна

65

Давайте начнем со второго неравенства \(x^2 - 18x + 81\). Мы можем попытаться решить его с помощью факторизации или используя формулу квадратного трехчлена.

Для начала, давайте посмотрим на функцию \(x^2 - 18x + 81\) и попытаемся понять, какие значения x будут удовлетворять неравенству.

Обратимся к методу факторизации. Заметим, что \(x^2 - 18x + 81\) является квадратным трехчленом вида \((x - a)^2\), где \(a\) - некоторое число. Таким образом, нам нужно найти число \(a\), чтобы выражение стало равным \((x - a)^2\).

Мы можем найти \(a\) следующим образом: из нашего выражения \(x^2 - 18x + 81\) берем корень из свободного члена и делим его пополам. В данном случае, корнем из 81 является 9, и деленное на половину будет 4,5. Значит, \(a = 4,5\).

Теперь мы можем записать наше выражение в следующем виде: \((x - 4,5)^2\). Если мы раскроем скобки, получим \(x^2 - 9x + 20,25\). Теперь мы можем сказать, что \(x^2 - 18x + 81 = (x - 4,5)^2\).

Чтобы найти значения x, которые удовлетворяют неравенству \(x^2 - 18x + 81 < 0\), мы должны рассмотреть интервалы, в которых это неравенство выполнено. Заметим, что квадратный трехчлен \((x - 4,5)^2\) всегда будет неотрицательным, так как он является квадратом. Равенство \(x^2 - 18x + 81 = 0\) имеет один корень \(x = 4,5\).

Таким образом, неравенство \(x^2 - 18x + 81 < 0\) не имеет решений, и нет значений x, которые удовлетворяют данному неравенству.

Теперь перейдем к первому неравенству \(x^2(5 - x) < 0\). Чтобы решить его, нам нужно найти значения x, для которых левая сторона неравенства меньше нуля.

Воспользуемся методом интервалов. Рассмотрим следующие интервалы: \(x < 0\), \(0 < x < 5\) и \(x > 5\). Для каждого интервала проверим знак выражения \(x^2(5 - x)\).

Для \(x < 0\), возьмем отрицательное число, например, -1. Подставим его в выражение: \((-1)^2(5 - (-1)) = 1 \cdot (5 + 1) = 1 \cdot 6 = 6\). Очевидно, что 6 больше нуля, поэтому значения x меньше нуля не удовлетворяют неравенству.

Для \(0 < x < 5\), возьмем положительное число, например, 3. Подставим его в выражение: \((3)^2(5 - (3)) = 9 \cdot (5 - 3) = 9 \cdot 2 = 18\). Из этого следует, что значения x в интервале от 0 до 5 не удовлетворяют неравенству.

Для \(x > 5\), возьмем положительное число, например, 6. Подставим его в выражение: \((6)^2(5 - (6)) = 36 \cdot (5 - 6) = 36 \cdot (-1) = -36\). Таким образом, значения x больше 5 удовлетворяют неравенству.

Таким образом, значение x, удовлетворяющее неравенству \(x^2(5 - x) < 0\), это x из интервала \(x > 5\).