Каков будет объём максимальной прибыли, которую компания может получить, учитывая, что она производит продукцию двух

Звездный_Адмирал

64

Хорошо, для решения данной задачи, нам необходимо найти объем максимальной прибыли, который может получить компания.

Сначала, определим функцию прибыли (П) компании, которая вычисляется как разница между выручкой (R) и издержками (C):
\[P(x,y) = R(x,y) - C(x,y)\]

Выручка (R) вычисляется путем умножения количества проданных единиц (x и y) на соответствующие цены на рынке (p_x и p_y):
\[R(x,y) = p_x \cdot x + p_y \cdot y\]

Теперь, подставим выражение для выручки и функцию издержек в формулу для прибыли:
\[P(x,y) = (p_x \cdot x + p_y \cdot y) - (5x^{2}+4y^{2}+10x+16y+5)\]

Далее, упростим функцию прибыли:
\[P(x,y) = 30x + 20y - 5x^{2} - 4y^{2} - 10x - 16y - 5\]
\[P(x,y) = -5x^{2} + 30x - 4y^{2} + 20y - 5\]

Теперь, наша задача заключается в нахождении максимального значения функции прибыли P(x,y).

Для этого, составим систему уравнений, находя ее производные по переменным x и y и приравнивая их к нулю:

\[\frac{{\partial P}}{{\partial x}} = -10x + 30 = 0\]
\[\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = -8y + 20 = 0\]

Решая данную систему, мы найдем значения x и y, при которых производные равны нулю.

\[-10x + 30 = 0 \Rightarrow x = 3\]
\[-8y + 20 = 0 \Rightarrow y = 2.5\]

Теперь, чтобы понять, является ли это точкой максимума, минимума или седловой точкой, нужно проанализировать матрицу вторых производных.

Вычислим вторые производные по x и y:

\[\frac{{\partial^{2} P}}{{\partial x^{2}}} = -10\]
\[\frac{{\partial^{2} P}}{{\partial y^{2}}} = -8\]

Очевидно, что оба значения отрицательны, следовательно, имеем дело с максимумом.

Таким образом, максимальная прибыль будет достигнута при значениях x = 3 и y = 2.5.

Теперь мы можем найти объем максимальной прибыли, подставив эти значения в исходную функцию прибыли:

\[P(3, 2.5) = -5 \cdot 3^{2} + 30 \cdot 3 - 4 \cdot 2.5^{2} + 20 \cdot 2.5 - 5\]
\[P(3, 2.5) = -45 + 90 - 25 + 50 - 5\]
\[P(3, 2.5) = 65\]

Таким образом, максимальная прибыль, которую компания может получить, составляет 65 единиц.