Каков будет период колебаний, если шарик массой m, подвешенный на нити, и шарик массой 2m, подвешенный на пружине

Шнур

41

Данная задача можно решить, используя принцип сохранения энергии. Перед тем, как нитка пережжена, шарики находятся в состоянии равновесия, и их полная механическая энергия равна нулю. После пережигания нити ни один из шариков не будет испытывать внешнюю силу, поэтому полная механическая энергия останется постоянной.

Пусть \( L \) будет периодом колебаний шарика массой \( m \) на нити, а \( T \) - периодом колебаний шарика массой \( 2m \) подвешенного на пружине.

Для шарика на нити, потенциальная энергия связана с его положением относительно нижнего положения равновесия. Потенциальная энергия составит \( U_{\text{ши}} = mgh \), где \( g \) - ускорение свободного падения, \( h \) - высота шарика относительно нижней точки. Полная механическая энергия шарика на нити также равна кинетической энергии, то есть \( E_{\text{ши}} = \frac{1}{2} m v^2 \).

Для шарика на пружине, потенциальная энергия связана с его смещением от положения равновесия. Потенциальная энергия составит \( U_{\text{шп}} = \frac{1}{2} k x^2 \), где \( k \) - жесткость пружины, \( x \) - смещение от положения равновесия. Полная механическая энергия шарика на пружине составит \( E_{\text{шп}} = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} k x^2 \).

Используя принцип сохранения энергии, запишем уравнение:
\[E_{\text{ши}} = E_{\text{шп}}\]

Подставив выражения для механической энергии, получаем:
\[\frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} k x^2\]

Сокращая общие члены, получим:
\[0 = \frac{1}{2} k x^2\]

По определению периода колебаний: \(T = \frac{2\pi}{\omega}\), где \(\omega\) - угловая скорость колебаний. Угловую скорость можно выразить через жесткость и массу шарика на пружине:
\(\omega_{\text{шп}} = \sqrt{\frac{k}{m}}\)

Таким образом, период колебаний шарика на пружине составит:
\[T = \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{k}{m}}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\]

Ответ: Период колебаний шарика на пружине после пережигания нити равен \(2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\).