Каков будет результат выражения (y²-49/y²-14y+49)⁴:(y+7/y-7)⁴ при y=9 5/36?

Шнур

60

Чтобы найти результат выражения \(\frac{(y^2-49)}{(y^2-14y+49)}\) взятое в четвертую степень, деленное на \(\left(\frac{(y+7)}{(y-7)}\right)^4\) при \(y= \frac{9}{36} = \frac{1}{4}\), мы начнем с подстановки значений \(y\) в оба выражения.

Давайте сначала рассчитаем числители этих выражений.
Для числителя первого выражения \((y^2-49)\) при \(y = \frac{1}{4}\) мы можем заменить \(y\) на \(\frac{1}{4}\) и посчитать значение:
\[\frac{1}{4}^2 - 49 = \frac{1}{16} - 49 = -\frac{783}{16}\]

Далее, для числителя второго выражения \((y+7)\) при \(y = \frac{1}{4}\) мы можем заменить \(y\) на \(\frac{1}{4}\) и посчитать значение:
\[\frac{1}{4} + 7 = \frac{29}{4}\]

Перейдем к знаменателю первого выражения \((y^2-14y+49)\) при \(y = \frac{1}{4}\). Заменив \(y\) на \(\frac{1}{4}\) и вычислим значение:
\[\left(\frac{1}{4}\right)^2 - 14\left(\frac{1}{4}\right) + 49 = \frac{1}{16} - \frac{14}{4} + 49 = \frac{1295}{16}\]

Аналогично, для знаменателя второго выражения \((y-7)\) при \(y = \frac{1}{4}\) мы можем заменить \(y\) на \(\frac{1}{4}\) и посчитать значение:
\[\frac{1}{4} - 7 = -\frac{27}{4}\]

Теперь, подставим все полученные значения в исходное выражение и возвести его в четвертую степень:
\[\left(\frac{-\frac{783}{16}}{\frac{1295}{16}}\right)^4 : \left(\frac{\frac{29}{4}}{-\frac{27}{4}}\right)^4\]

Разделим числители и знаменатели в обоих дробях:
\[\frac{-\frac{783}{16}}{\frac{1295}{16}} = -\frac{783}{16} \cdot \frac{16}{1295} = -\frac{783}{1295}\]
\[\frac{\frac{29}{4}}{-\frac{27}{4}} = \frac{29}{4} \cdot \frac{4}{-27} = -\frac{29}{27}\]

Теперь возведем оба полученных результата в четвертую степень:
\[\left(-\frac{783}{1295}\right)^4 : \left(-\frac{29}{27}\right)^4\]

Для удобства вычислений, возводим числители и знаменатели в отдельные степени:
\[\left(-\frac{783}{1295}\right)^4 = \left(\frac{-783}{1295}\right)^4 = \frac{783^4}{1295^4}\]
\[\left(-\frac{29}{27}\right)^4 = \left(\frac{-29}{27}\right)^4 = \frac{29^4}{27^4}\]

Теперь посчитаем числитель каждого полученного выражения:
\[783^4 = 18969693700637\]
\[29^4 = 707281\]

И посчитаем знаменатель каждого выражения:
\[1295^4 = 3470924375425\]
\[27^4 = 531441\]

Подставим числители и знаменатели назад в исходное выражение:
\[\frac{18969693700637}{3470924375425} : \frac{707281}{531441}\]

Для деления дробей в числителе и знаменателе произведем умножение на обратную второй и делимой дробей:
\[\frac{18969693700637}{3470924375425} \cdot \frac{531441}{707281}\]

Перемножим числители и знаменатели:
\[\frac{18969693700637 \cdot 531441}{3470924375425 \cdot 707281}\]

Очень большие числа, но мы можем сократить числитель и знаменатель, если найдем их наибольший общий делитель (НОД) и поделим оба числа на этот НОД:
\[\text{НОД}(18969693700637 \cdot 531441, 3470924375425 \cdot 707281) = 59049\]

Теперь поделим числитель и знаменатель на НОД:
\[\frac{(18969693700637 \cdot 531441)/59049}{(3470924375425 \cdot 707281)/59049}\]

Имеем:
\[\frac{181 \cdot 31 \cdot 331 \cdot 107^2}{11 \cdot 13 \cdot 47 \cdot 59 \cdot 53^2 \cdot 67} \approx 0.53805947\]

Таким образом, результат выражения \(\frac{(y^2-49)}{(y^2-14y+49)}\) взятого в четвертую степень и поделенного на \(\left(\frac{(y+7)}{(y-7)}\right)^4\) при \(y = \frac{1}{4}\) равен примерно 0.53805947.