Каков диаметр окружности, которая вписана в прямоугольный треугольник, если длина его гипотенузы составляет 26

Мартышка

42

Данная задача связана с прямоугольным треугольником и вписанной окружностью. Давайте рассмотрим ее пошаговое решение.

По определению, окружность, которая вписана в треугольник, касается каждой из его сторон. Обозначим длины катетов прямоугольного треугольника как a и b, а диаметр вписанной окружности — как d. Также известно, что длина гипотенузы составляет 26 см.

1. Используем теорему Пифагора: \[a^2 + b^2 = c^2\], где c — длина гипотенузы.
Подставляем известные значения: \[a^2 + b^2 = 26^2\].

2. Рассмотрим треугольник, вписанный в окружность. По свойству вписанного угла, центр окружности лежит на пересечении биссектрис треугольника. Обратим внимание, что окружность касается всех трех сторон треугольника и, следовательно, три отрезка, проведенных из вершин треугольника до точки касания окружности с его сторонами, являются биссектрисами.

3. Пусть радиус окружности равен r, а отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания окружности, равны x, y и z (где x соединяет вершину с катетом a, y — с катетом b, а z — с гипотенузой c). Так как окружность касается каждой из сторон, x, y и z будут равными.

4. Используем свойства треугольников, в том числе равенство треугольников. Это означает, что прямоугольный треугольник АКВ и треугольник ABC, в котором окружность вписана, равны. Значит, x + y + z = a + b + c.

5. Так как x = y = z = r, то r + r + r = a + b + c. Учитывая, что a + b = c, получаем: 3r = 2c.

6. Зная, что диаметр вписанной окружности равен двойному радиусу, можем записать равенство: d = 2r.

7. Из (5) и (6) получаем: 3r = 2c, тогда 2r = \(\frac{2}{3}\)c.

8. Теперь у нас есть два уравнения, которые связывают c и r:
- d = 2r,
- 2r = \(\frac{2}{3}\)c.

9. Заменяем d во втором уравнении на 2r: 2r = \(\frac{2}{3}\)c, тогда d = \(\frac{2}{3}\)c.

10. Зная, что c = 26, можем вычислить d: d = \(\frac{2}{3}\) * 26.

11. Вычисляем значение d: d = \(\frac{2}{3}\) * 26.

Ответ: Диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен \(\frac{2}{3}\) * 26.