Каков диаметр тени диска, создаваемой точечным источником света, и во сколько раз площадь тени превышает площадь самого

Черепаха

39

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся некоторые базовые знания из геометрии и пропорций.

Пусть \(d_1\) - расстояние от источника света до диска, а \(d_2\) - расстояние от диска до экрана. По условию, мы знаем, что \(d_1 = \frac{2.7}{1} \cdot d_2\).

Для начала найдем, во сколько раз диаметр тени больше диаметра самого диска. Для этого воспользуемся пропорцией, основанной на подобии треугольников:

\(\frac{d_1}{d_2} = \frac{d}{D}\),

где \(d\) - диаметр тени, а \(D\) - диаметр самого диска.

Теперь подставим значение \(d_1\), которое мы знаем:

\(\frac{2.7}{1} = \frac{d}{D}\).

Домножим обе части уравнения на \(D\), чтобы избавиться от дроби:

\(2.7 \cdot D = d\).

Поэтому диаметр тени \(d\) равен \(2.7\) раз диаметру самого диска \(D\).

Теперь рассмотрим вторую часть вопроса - во сколько раз площадь тени превышает площадь самого диска.
Формула для площади круга: \(S = \pi r^2\), где \(r\) - радиус, который для нас является половиной диаметра.

Так как у нас есть диаметр тени \(d\), найдем его радиус \(r_d = \frac{d}{2}\), а для диска найдем радиус \(r_D = \frac{D}{2}\).

Теперь можем выразить площади:

\(S_d = \pi (r_d)^2\) и \(S_D = \pi (r_D)^2\).

Теперь найдем отношение площади тени к площади диска:

\(\frac{S_d}{S_D} = \frac{\pi (r_d)^2}{\pi (r_D)^2}\).

Сокращаем общий множитель \(\pi\):

\(\frac{S_d}{S_D} = \frac{(r_d)^2}{(r_D)^2}\).

Подставляем значения радиусов:

\(\frac{S_d}{S_D} = \frac{(\frac{d}{2})^2}{(\frac{D}{2})^2}\).

Упрощаем:

\(\frac{S_d}{S_D} = \frac{d^2}{D^2} \cdot \frac{1}{4}\).

Так как мы знаем, что диаметр тени \(d\) равен \(2.7\) раз диаметру диска \(D\), можно представить \(d\) через \(D\):

\(d = 2.7 \cdot D\).

Подставляем это значение в выражение для площадей:

\(\frac{S_d}{S_D} = \frac{(2.7D)^2}{D^2} \cdot \frac{1}{4}\).

Упрощаем:

\(\frac{S_d}{S_D} = \frac{7.29D^2}{4D^2} = \frac{7.29}{4}\).

Получаем, что площадь тени \(S_d\) превышает площадь диска \(S_D\) в \(\frac{7.29}{4}\) раза.

Таким образом, ответ на задачу:

- Диаметр тени \(d\) равен \(2.7\) раз диаметру диска \(D\).
- Площадь тени \(S_d\) превышает площадь диска \(S_D\) в \(\frac{7.29}{4}\) раза.