Каков диаметр второй вольфрамовой нити, соединенной последовательно с вольфрамовой нитью диаметром d1=0.1 мм, если

Ксения

30

Для решения данной задачи воспользуемся законом Стефана-Больцмана, который описывает зависимость мощности излучения от температуры и коэффициента полного излучения.

Согласно данному закону, мощность излучения обратно пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры.

Используя эту формулу, можно записать уравнение для вольфрамовых нитей:

\[\frac{P_1}{\pi r_1^2} = \sigma a_1 T_1^4\]

\[\frac{P_2}{\pi r_2^2} = \sigma a_2 T_2^4\]

где \(P_1\) и \(P_2\) - мощности излучения для первой и второй нитей соответственно, \(r_1\) и \(r_2\) - радиусы соответствующих нитей, \(\sigma\) - постоянная Стефана-Больцмана, \(a_1\) и \(a_2\) - коэффициенты полного излучения для первой и второй нитей, \(T_1\) и \(T_2\) - температуры первой и второй нитей соответственно.

Из данных задачи известны следующие значения:

\(d_1 = 0.1\) мм (\(r_1 = \frac{d_1}{2} = \frac{0.1}{2} = 0.05\) мм = \(5 \times 10^{-5}\) м)

\(t_1 = 2000\)К

\(t_2 = 3000\)К

\(a_1 = 0.26\)

\(a_2 = 0.334\)

\(p_1 = 5.91 \times 10^{-7}\) Ом\(\cdot\)м

\(p_2 = 9.62 \times 10^{-7}\) Ом\(\cdot\)м

Из соотношения для удельного сопротивления \(\rho\) вольфрама:

\[\rho = \frac{p}{\pi r^2}\]

можно выразить радиус \(r_2\) через известные величины:

\[r_2 = \sqrt{\frac{p_2}{\pi \rho_2}}\]

где \(\rho_2\) - удельное сопротивление.

Чтобы найти значение \(\rho_2\), воспользуемся формулой для сопротивления проводника:

\[R = \rho \cdot \frac{L}{S}\]

где \(R\) - сопротивление проводника, \(L\) - его длина, \(S\) - площадь поперечного сечения.

В итоге получаем:

\[R_2 = \rho_2 \cdot \frac{L}{\pi r_2^2}\]

Отсюда:

\[\rho_2 = \frac{R_2 \cdot \pi \cdot r_2^2}{L}\]

Радиус второй нити \(r_2\) можно найти, используя уравнение для мощности излучения:

\[\frac{P_2}{\pi r_2^2} = \sigma a_2 T_2^4\]

\[r_2 = \sqrt{\frac{P_2}{\pi \sigma a_2 T_2^4}}\]

Подставляем выражение для \(\rho_2\) в данную формулу:

\[r_2 = \sqrt{\frac{P_2}{\pi \sigma a_2 T_2^4}} = \sqrt{\frac{P_2 \cdot L}{\pi \sigma a_2 T_2^4 \cdot R_2 \cdot \pi \cdot r_2^2}}\]

\[r_2 = \sqrt{\frac{P_2 \cdot L}{\pi^2 \sigma a_2 T_2^4 R_2}}\]

Подставляем значения из условия задачи:

\[\begin{aligned} r_2 &= \sqrt{\frac{P_2 \cdot L}{\pi^2 \sigma a_2 T_2^4 R_2}} = \sqrt{\frac{\pi \cdot 5.91 \times 10^{-7} \cdot L}{\pi^2 \cdot 5.67 \times 10^{-8} \cdot 0.334 \cdot 3000^4 \cdot (9.62 \times 10^{-7})}} = \\ & = \sqrt{\frac{5.91 \times 10^{-7} \cdot L}{5.67 \times 0.334 \cdot (9.62 \times 3000)^4}} = 0.025 \, \text{мм} = 2.5 \times 10^{-5} \, \text{мм}\end{aligned}\]

Таким образом, диаметр второй вольфрамовой нити, соединенной последовательно с нитью диаметром \(d_1 = 0.1\) мм, составляет \(d_2 = 2 \times r_2 = 2 \times 2.5 \times 10^{-5} = 5 \times 10^{-5}\) м.