Каков диапазон значений функции f(x)=log2(x-2)? Где функция возрастает и убывает? Постройте график

Delfin

17

Хорошо, давайте начнем с анализа функции. Функция \(f(x) = \log_2(x-2)\) является логарифмической функцией с основанием 2. Чтобы определить её диапазон значений и выяснить, где она возрастает или убывает, нам нужно рассмотреть несколько важных моментов.

1. Ограничения области определения: В данной функции, \(x\) должен быть больше 2, так как внутри логарифма есть выражение \((x-2)\) и логарифм определен только для положительных чисел.

2. Диапазон значений: Поскольку логарифм является функцией, обратной к возведению в степень, его значения будут являться показателями степени. В случае функции \(f(x) = \log_2(x-2)\), это означает, что её значения будут всеми действительными числами.

3. Поведение функции: Чтобы понять, как функция меняется при изменении значения \(x\), мы можем взять производную функции \(f(x)\). Возьмем производную и проверим ее знак в различных интервалах значений:

\[
f"(x) = \frac{1}{{(x-2)\ln(2)}}
\]

Знак этой производной будет определять поведение функции:

- Если \(x > 2\), производная \(f"(x)\) положительна, что означает, что функция возрастает на этом интервале.
- Если \(x < 2\), производная \(f"(x)\) отрицательна, что означает, что функция убывает на этом интервале.

Таким образом, функция \(f(x) = \log_2(x-2)\) возрастает при \(x > 2\) и убывает при \(x < 2\).

4. Построение графика: Чтобы нарисовать график функции, мы можем использовать полученные знания о предельных точках и поведении функции:

- При \(x = 2\) функция не определена, так как внутри логарифма получается 0.
- При \(x > 2\) функция возрастает и стремится к бесконечности.
- При \(x < 2\) функция убывает и стремится к минус бесконечности.

Это позволяет нам нарисовать следующий график функции \(f(x) = \log_2(x-2)\):

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & f(x) = \log_2(x-2) \\
\hline
3 & 1 \\
\hline
4 & 2 \\
\hline
5 & 2.32 \\
\hline
6 & 2.58 \\
\hline
\end{array}
\]

На графике видно, что функция \(f(x)\) возрастает при \(x > 2\) и убывает при \(x < 2\). График также показывает, что функция стремится к плюс бесконечности при \(x \to +\infty\) и к минус бесконечности при \(x \to 2^+\).

Надеюсь, эта информация помогла вам понять диапазон значений и поведение функции.