Каков должен быть радиус окружности с центром в точке А, чтобы она касалась прямой BC в треугольнике ABC, где угол

Южанка

47

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать некоторые свойства треугольника и окружности. Давайте разберемся step-by-step.

1. Вспомним, что радиус окружности является расстоянием от ее центра до любой точки на окружности. Наша задача состоит в том, чтобы найти такой радиус, чтобы окружность касалась прямой BC.

2. Условие гласит, что окружность должна касаться прямой BC в треугольнике ABC. Поскольку угол C прямой (равен 90°), мы знаем, что BC является катетом прямоугольного треугольника.

3. Также нам известно, что угол А треугольника равен 60° и длина AB составляет 28 см.

4. Оказывается, что касательная, проведенная из центра окружности к точке касания, всегда перпендикулярна радиусу. Исходя из этого факта, мы можем сделать вывод, что радиус окружности будет перпендикулярен касательной, проведенной к прямой BC.

5. Теперь давайте рассмотрим треугольник ABC. Мы можем нарисовать высоту треугольника AD, где точка D - точка касания окружности и прямой BC. Поскольку AD перпендикулярна BC, она также будет перпендикулярна радиусу окружности.

6. У нас образовался прямоугольный треугольник ADB, где угол ADB является прямым (равным 90°), угол A равен 60°, а катет AB равен 28 см.

7. Окажемся к теореме о синусах для прямоугольного треугольника ADB: \(\frac{AB}{\sin(\angle ADB)} = \frac{AD}{\sin(\angle A)}\).

8. Подставив известные значения, получим: \(\frac{28}{\sin(90)} = \frac{AD}{\sin(60)}\).

9. Синус 90° равен 1, а синус 60° равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). Подставим значения, получим: \(28 = \frac{AD}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\).

10. Умножим обе части уравнения на \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), чтобы избавиться от знаменателя: \(AD = 28 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\).

11. Вычислим значение \(AD\): \(AD \approx 14\sqrt{3}\) см.

12. Поскольку радиус окружности равен \(AD\), получаем, что радиус окружности равен приблизительно \(14\sqrt{3}\) см.

13. Ответ представлен в сантиметрах, поэтому округлим наш ответ до ближайшего целого числа: радиус окружности составляет 13 см.

Таким образом, правильный ответ на задачу: 13 см.