Каков градиент функции z=2x^2-3xy+y^3 в точке M0 (2;1)?

Григорьевич

3

Хорошо, чтобы найти градиент функции в данной точке M0 (2;1), нам нужно вычислить частные производные функции по переменным x и y, а затем подставить значения этих переменных в эти производные.

Итак, функция z = 2x^2 - 3xy + y^3, давайте начнем с вычисления частной производной по переменной x. Для этого мы будем дифференцировать функцию по x, рассматривая y как постоянную:

\(\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2x^2 - 3xy + y^3)\)

Чтобы взять производную функции 2x^2 - 3xy + y^3 по переменной x, мы будем применять правила дифференцирования. В данном случае производная по x от \(x^n\) равняется \(nx^{n-1}\). Применим это правило к каждому слагаемому в нашей функции:

\(\frac{\partial z}{\partial x} = 2 \cdot \frac{\partial}{\partial x}(x^2) - 3y \cdot \frac{\partial}{\partial x}(x) + y^3 \cdot \frac{\partial}{\partial x}(1)\)

\(\frac{\partial z}{\partial x} = 2 \cdot 2x - 3y \cdot 1 + 0\) (поскольку производная постоянной равна нулю)

\(\frac{\partial z}{\partial x} = 4x - 3y\)

Теперь давайте вычислим частную производную по переменной y. Для этого мы будем дифференцировать функцию по y, рассматривая x как постоянную:

\(\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2x^2 - 3xy + y^3)\)

Применяем правила дифференцирования, получаем:

\(\frac{\partial z}{\partial y} = 2x \cdot \frac{\partial}{\partial y}(x^2) - 3x \cdot \frac{\partial}{\partial y}(y) + 3y^2 \cdot \frac{\partial}{\partial y}(1)\)

\(\frac{\partial z}{\partial y} = 2x \cdot 0 - 3x \cdot 1 + 3y^2 \cdot 0\) (поскольку производная постоянной равна нулю)

\(\frac{\partial z}{\partial y} = -3x\)

Теперь у нас есть частные производные функции z: \(\frac{\partial z}{\partial x} = 4x - 3y\) и \(\frac{\partial z}{\partial y} = -3x\).

Чтобы найти градиент функции в точке M0 (2;1), мы должны подставить значения x = 2 и y = 1 в наши частные производные:

\(\frac{\partial z}{\partial x}\) в точке M0 = \(4 \cdot 2 - 3 \cdot 1 = 8 - 3 = 5\)

\(\frac{\partial z}{\partial y}\) в точке M0 = \(-3 \cdot 2 = -6\)

Итак, градиент функции z = 2x^2 - 3xy + y^3 в точке M0 (2;1) будет равен градиенту по x и градиенту по y:

\(\nabla z\) в точке M0 = (5, -6)

Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.