Каков градиент функции z=2x^2-3xy+y^3 в точке M0 (2;1)?

Григорьевич

3

Хорошо, чтобы найти градиент функции в данной точке M0 (2;1), нам нужно вычислить частные производные функции по переменным x и y, а затем подставить значения этих переменных в эти производные.

Итак, функция z = 2x^2 - 3xy + y^3, давайте начнем с вычисления частной производной по переменной x. Для этого мы будем дифференцировать функцию по x, рассматривая y как постоянную:

$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(2x^2-3xy+y^3)$

Чтобы взять производную функции 2x^2 - 3xy + y^3 по переменной x, мы будем применять правила дифференцирования. В данном случае производная по x от $x^n$ равняется $n{x}^{n-1}$. Применим это правило к каждому слагаемому в нашей функции:

$\frac{\partial z}{\partial x}=2\cdot \frac{\partial }{\partial x}(x^2)-3y\cdot \frac{\partial }{\partial x}(x)+y^3\cdot \frac{\partial }{\partial x}(1)$

$\frac{\partial z}{\partial x}=2\cdot 2x-3y\cdot 1+0$ (поскольку производная постоянной равна нулю)

$\frac{\partial z}{\partial x}=4x-3y$

Теперь давайте вычислим частную производную по переменной y. Для этого мы будем дифференцировать функцию по y, рассматривая x как постоянную:

$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}(2x^2-3xy+y^3)$

Применяем правила дифференцирования, получаем:

$\frac{\partial z}{\partial y}=2x\cdot \frac{\partial }{\partial y}(x^2)-3x\cdot \frac{\partial }{\partial y}(y)+3y^2\cdot \frac{\partial }{\partial y}(1)$

$\frac{\partial z}{\partial y}=2x\cdot 0-3x\cdot 1+3y^2\cdot 0$ (поскольку производная постоянной равна нулю)

$\frac{\partial z}{\partial y}=-3x$

Теперь у нас есть частные производные функции z: $\frac{\partial z}{\partial x}=4x-3y$ и $\frac{\partial z}{\partial y}=-3x$.

Чтобы найти градиент функции в точке M0 (2;1), мы должны подставить значения x = 2 и y = 1 в наши частные производные:

$\frac{\partial z}{\partial x}$ в точке M0 = $4\cdot 2-3\cdot 1=8-3=5$

$\frac{\partial z}{\partial y}$ в точке M0 = $-3\cdot 2=-6$

Итак, градиент функции z = 2x^2 - 3xy + y^3 в точке M0 (2;1) будет равен градиенту по x и градиенту по y:

$\mathrm{\nabla }z$ в точке M0 = (5, -6)

Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.