Какое минимальное количество уникальных чисел могло быть записано на доске, если каждое из 75 различных целых чисел

Ogon

35

Данная задача связана с теорией множеств, и мы можем ее решить с помощью логического анализа.

Предположим, что на доске было записано минимальное возможное количество уникальных чисел. Давайте разберем возможные варианты.

1) Если все 75 чисел были возведены в квадрат и результаты записаны на доске, то получим 75 уникальных чисел:
\[1^2, 2^2, 3^2, ..., 75^2\]

2) Если все 75 чисел были возведены в куб и результаты записаны на доске, также получим 75 уникальных чисел:
\[1^3, 2^3, 3^3, ..., 75^3\]

3) Если же среди чисел на доске есть квадраты и кубы одних и тех же чисел, то мы можем найти такие числа, чтобы минимизировать количество уникальных чисел.

Предположим, что у нас есть число \(x\), которое одновременно является квадратом и кубом некоторого числа.

Такое число существует, и это число 1, так как \(1^2 = 1\) и \(1^3 = 1\). Следовательно, число 1 будет записано на доске дважды, как квадрат и как куб.

Таким образом, если мы исключим число 1, на доске будет 74 уникальных чисел.

Ответ: минимальное количество уникальных чисел, которое могло быть записано на доске, равно 74.