Каков косинус угла между медианами AA1 и ВВ1 треугольника ABC, если известно, что AB = 4, BC = 6 и угол B равен 90°?

Zvezdopad_V_Nebe_2674

32

Чтобы найти косинус угла между медианами AA1 и ВВ1 треугольника ABC, нам потребуется использовать свойство косинуса из тригонометрии. Определим, что такое медиана и как она связана с треугольником.

Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В данном случае, медиана АА1 соединяет вершину А с серединой стороны ВС, а медиана ВВ1 соединяет вершину В с серединой стороны АС.

Чтобы найти косинус угла между медианами, нам нужно сначала найти косинус угла между сторонами треугольника, а затем использовать свойства медиан для решения задачи.

Давайте начнем с нахождения косинуса угла B. У нас есть информация, что угол B равен 90°, что делает треугольник ABC прямоугольным. Для прямоугольного треугольника, косинус угла B можно определить как отношение длины прилежащей стороны к гипотенузе:

\[\cos(B) = \frac{AB}{AC}\]

Мы имеем данную информацию, что AB = 4, поэтому нам нужно найти только длину стороны AC. Для этого нам понадобится применить теорему Пифагора:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2\]
\[AC^2 = 4^2 + 6^2\]
\[AC^2 = 16 + 36\]
\[AC^2 = 52\]
\[AC = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}\]

Теперь, когда у нас есть значение стороны AC, мы можем найти косинус угла B:

\[\cos(B) = \frac{AB}{AC} = \frac{4}{2\sqrt{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}}\]

Теперь, когда мы знаем косинус угла B, мы можем перейти к нахождению косинуса угла между медианами. Медианы треугольника делятся в отношении 2:1, поэтому угол между медианами будет равен углу, косинус которого есть квадратный корень из косинуса угла B:

\[\cos(\text{угла между медианами}) = \sqrt{\cos(B)} = \sqrt{\frac{2}{\sqrt{13}}} = \sqrt{\frac{2\sqrt{13}}{13}}\]

Таким образом, косинус угла между медианами AA1 и ВВ1 треугольника ABC равен \(\sqrt{\frac{2\sqrt{13}}{13}}\).