Каков КПД цикла, если цикл одного моля идеального одноатомного газа, который является рабочим телом теплового

Milana

46

Для того чтобы вычислить КПД (коэффициент полезного действия) цикла, нам необходимо знать две величины: работу, совершаемую циклом, и количество теплоты, полученное от нагревателя. Давайте начнем с вычисления работы цикла.

Первым этапом цикла является изобарное расширение, при котором объем газа увеличивается в 2 раза. Известно, что работа, совершаемая газом в этом этапе, равна произведению давления на изменение объема:

\[A_{\text{изобар}} = P \cdot \Delta V\]

Так как цикл состоит из одного моля газа, мы можем использовать уравнение состояния идеального газа, чтобы найти начальное и конечное давление:

\[PV = nRT\]

Где P - давление, V - объем, n - количество вещества, R - универсальная газовая постоянная, T - температура. Поскольку цикл начинается с изобарного расширения, давление в начальном и конечном состояниях одинаково:

\[P_{\text{нач}} = P_{\text{кон}} = P\]

Далее, учитывая, что объем увеличивается в 2 раза, получаем:

\[V_{\text{нач}} = \frac{V_{\text{кон}}}{2}\]

Подставляя это в уравнение состояния газа, можно найти начальное и конечное объемы:

\[PV_{\text{нач}} = nRT_{\text{нач}}\]
\[P \cdot \frac{V_{\text{кон}}}{2} = nRT_{\text{нач}}\]

После простых преобразований можно решить это уравнение относительно конечного объема:

\[V_{\text{кон}} = \frac{2nRT_{\text{нач}}}{P}\]

Таким образом, работа, совершаемая газом при изобарном расширении, равна:

\[A_{\text{изобар}} = P \cdot \left(\frac{2nRT_{\text{нач}}}{P} - V_{\text{нач}}\right)\]
\[A_{\text{изобар}} = 2nRT_{\text{нач}} - nRT_{\text{нач}} = nRT_{\text{нач}}\]

Теперь перейдем ко второму этапу цикла - изохорному охлаждению. В этом случае объем газа не меняется, поэтому работа, совершаемая газом в этом этапе, равна нулю: \(A_{\text{изохор}} = 0\).

Наконец, в третьем этапе происходит изотермическое сжатие, при котором газ возвращается в исходное состояние. Известно, что работа, совершаемая газом при изотермическом сжатии, связана с количеством теплоты, полученным от нагревателя, следующим образом:

\[A_{\text{изотерм}} = Q_{\text{н}}\]

Так как цикл замкнутый, работа цикла будет равна сумме работ во всех трех этапах:

\[A_{\text{цикл}} = A_{\text{изобар}} + A_{\text{изохор}} + A_{\text{изотерм}}\]
\[A_{\text{цикл}} = nRT_{\text{нач}} + 0 + Q_{\text{н}}\]
\[A_{\text{цикл}} = nRT_{\text{нач}} + Q_{\text{н}}\]

Теперь, зная модуль работы при изотермическом сжатии \(|a_{31}| = 2016\), можем записать:

\[Q_{\text{н}} = -|a_{31}|\]

Используя полученную формулу для работы цикла, можно найти количество теплоты, полученное от нагревателя.

Наконец, выражаем КПД цикла: \(\eta = \frac{A_{\text{цикл}}}{Q_{\text{н}}}\)

\[ \eta = \frac{nRT_{\text{нач}} - |a_{31}|}{-|a_{31}|}\]

Простые алгебраические преобразования дают:

\[ \eta = 1 - \frac{|a_{31}|}{nRT_{\text{нач}}}\]

В итоге, КПД цикла для данного случая равен:

\[ \eta = 1 - \frac{2016}{nRT_{\text{нач}}}\]

Где n - количество вещества (в данном случае один моль), R - универсальная газовая постоянная, T_{\text{нач}} - начальная температура газа (350 K). Подставив значения констант, можно вычислить численное значение КПД цикла.