Каков кпд цикла, в котором один моль азота проходит замкнутый цикл? Известны следующие значения: p1 = 2 · 105 па

Solnechnyy_Bereg_2123

62

Для того чтобы вычислить КПД (коэффициент полезного действия) цикла с использованием данных о теплоёмкостях газа, применим первый закон термодинамики для замкнутого цикла.

Первый закон термодинамики для цикла может быть записан в виде:
\[\Delta U = Q - W\],
где \(\Delta U\) - изменение внутренней энергии газа, \(Q\) - количество теплоты, сообщенной газу, и \(W\) - проделанная работа.

Так как цикл является замкнутым, то изменение внутренней энергии газа равно нулю (\(\Delta U = 0\)), поэтому
\[Q = W\].

Согласно замкнутому циклу Карно, КПД цикла может быть выражен как отношение полученной работы к количеству теплоты, подведенной к газу:
\[\eta = \frac{W}{Q}\].

Раскладывая эту формулу на отдельные составляющие, получаем:
\[\eta = \frac{W}{Q} = \frac{W}{Q_2 - Q_1}\],
где \(Q_1\) - количество теплоты, отданное газу на низшей температуре, и \(Q_2\) - количество теплоты, полученное газом на высшей температуре.

Найдем \(Q_1\) и \(Q_2\) для данной задачи. Используем уравнение состояния идеального газа:
\[p_1v_1 = nRT_1\],
\[p_2v_2 = nRT_2\],
где \(p_1\) и \(p_2\) - давления газа на начальной и конечной стадиях цикла, \(v_1\) и \(v_2\) - объемы газа на начальной и конечной стадиях цикла, \(T_1\) и \(T_2\) - температуры газа на начальной и конечной стадиях цикла, \(n\) - количество вещества газа, \(R\) - универсальная газовая постоянная.

Выразим температуры газа через давления и объемы, используя уравнение состояния идеального газа:
\[T_1 = \frac{p_1 v_1}{nR}\],
\[T_2 = \frac{p_2 v_2}{nR}\].

Теперь найдем \(Q_1\) и \(Q_2\), используя разности внутренних энергий и уравнение состояния идеального газа:
\[Q_1 = \Delta U_1 + W_1 = cv \cdot \Delta T_1 + p_1 v_1 = cv \cdot (T_2 - T_1) + p_1 v_1\],
\[Q_2 = \Delta U_2 + W_2 = cv \cdot \Delta T_2 + p_2 v_2 = cv \cdot (T_2 - T_1) + p_2 v_2\].

Подставим выражения для \(T_1\) и \(T_2\) в формулы для \(Q_1\) и \(Q_2\):
\[Q_1 = cv \cdot \left(\frac{p_2 v_2}{nR} - \frac{p_1 v_1}{nR}\right) + p_1 v_1\],
\[Q_2 = cv \cdot \left(\frac{p_2 v_2}{nR} - \frac{p_1 v_1}{nR}\right) + p_2 v_2\].

Теперь посчитаем значение КПД цикла:
\[\eta = \frac{W}{Q} = \frac{Q_2 - Q_1}{Q_2} = 1 - \frac{Q_1}{Q_2}\].

Подставим выражения для \(Q_1\) и \(Q_2\):
\[\eta = 1 - \frac{cv \cdot \left(\frac{p_2 v_2}{nR} - \frac{p_1 v_1}{nR}\right) + p_1 v_1}{cv \cdot \left(\frac{p_2 v_2}{nR} - \frac{p_1 v_1}{nR}\right) + p_2 v_2}\].

Упростим данное выражение:
\[\eta = 1 - \frac{\frac{p_2 v_2 - p_1 v_1}{nR} + \frac{p_1 v_1}{cv}}{\frac{p_2 v_2 - p_1 v_1}{nR} + \frac{p_2 v_2}{cv}}\].

Подставим известные значения:
\[\eta = 1 - \frac{\frac{(4 \cdot 10^5 \, \text{Па}) \cdot (20 \, \text{л}) - (2 \cdot 10^5 \, \text{Па}) \cdot (10 \, \text{л})}{nR} + \frac{(2 \cdot 10^5 \, \text{Па}) \cdot (10 \, \text{л})}{21 \, \text{Дж/(моль·К)}}}{\frac{(4 \cdot 10^5 \, \text{Па}) \cdot (20 \, \text{л}) - (2 \cdot 10^5 \, \text{Па}) \cdot (10 \, \text{л})}{nR} + \frac{(4 \cdot 10^5 \, \text{Па}) \cdot (20 \, \text{л})}{29 \, \text{Дж/(моль·К)}}}\].

Вычислим значение КПД цикла:
\[\eta \approx 1 - 0.8466 \approx 0.1534\].

Таким образом, КПД цикла, в котором один моль азота проходит замкнутый цикл, составляет около 0.1534 или примерно 15.34%.