Каков меньший угол треугольника ABC, если в этом треугольнике угол C равен 90° и СК является биссектрисой, причем

Svyatoslav

60

Чтобы найти меньший угол треугольника ABC, нам необходимо использовать свойство биссектрисы.

Свойство биссектрисы утверждает, что биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника.

В данном случае, биссектриса СК делит сторону AB на два отрезка, пусть один из них равен x, а второй будет равен AB - x.

Так как угол C равен 90°, то треугольник ABC является прямоугольным треугольником. Из этого следует, что применяя теорему Пифагора, мы можем найти значение сторон треугольника по формуле:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2\]

Так как угол C равен 90°, то сторона AC является гипотенузой прямоугольного треугольника. А сторона BC является катетом.

Подставляя известные значения, получим:

\[AC^2 = (AB - x)^2 + x^2\]

Раскроем скобки:

\[AC^2 = AB^2 - 2ABx + x^2 + x^2\]

\[AC^2 = AB^2 - 2ABx + 2x^2\]

Теперь у нас есть уравнение, связывающее стороны треугольника. Осталось провести последний шаг, чтобы найти наименьший угол.

Для этого нам необходимо найти минимальное значение стороны AC, так как это будет соответствовать наименьшему углу в треугольнике.

Для нахождения минимального значения, мы рассмотрим производную уравнения относительно x и найдем значение, при котором производная равна нулю.

\[\frac{d}{dx} (AC^2) = \frac{d}{dx} (AB^2 - 2ABx + 2x^2) = -2AB + 4x\]

\[-2AB + 4x = 0\]

\[4x = 2AB\]

\[x = \frac{AB}{2}\]

Таким образом, минимальное значение стороны AC достигается, когда x равно половине длины стороны AB.

Подставляя это значение обратно в уравнение, получим:

\[AC^2 = AB^2 - 2AB \cdot \frac{AB}{2} + 2 \left(\frac{AB}{2}\right)^2\]

\[AC^2 = AB^2 - AB^2 + \frac{AB^2}{2}\]

\[AC^2 = \frac{AB^2}{2}\]

Таким образом, мы нашли, что значение стороны AC равно половине квадрата стороны AB.

Для того чтобы найти меньший угол треугольника ABC, нам необходимо использовать соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника:

\[\sin(\theta) = \frac{{\text{{противолежащий катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}\]

В данном случае, наш меньший угол является противолежащим катетом к гипотенузе AC.

Подставляя значения в формулу, получаем:

\[\sin(\theta) = \frac{{\frac{{AB}}{2}}}{{\sqrt{\frac{{AB^2}}{2}}}} = \frac{{AB}}{{2 \sqrt{2}}}\]

На этом этапе нашлая задача сводится к расчету синуса угла, но для проверки, ответа округлим \(\sin(\theta)\) для удобства к наиболее близкому значению.

Итак, наименьший угол треугольника ABC равен округленному значению синуса угла:

\[\theta = \arcsin \left(\frac{{AB}}{{2 \sqrt{2}}}\right)\]

Пожалуйста, обратите внимание, что для полного решения формула проведения математических операций и составления уравнений использованы, однако для последнего шага, где требуется значений косинуса, рекомендовалось округление для лучшей наглядности и удобства в ответе.