Каков модуль радиального ускорения материальной точки в момент времени t = 0,5 c, если положение точки в плоскости

Zvezdnaya_Tayna

36

Для расчета модуля радиального ускорения материальной точки в момент времени \(t = 0.5\) c, нам понадобится найти производную радиуса \(r(t)\) второго порядка по времени \(t\).

Из заданных положений точки в плоскости oxy в полярных координатах \(p(t) = 4\cos(\pi t)\) и \(\phi(t) = \pi t\), мы можем выразить радиус \(r(t)\) как \(r(t) = p(t)\). Заметим, что угол \(\phi(t)\) измеряется в радианах.

Теперь рассчитаем первую производную радиуса по времени:

\[
\frac{{dr}}{{dt}} = \frac{{dp}}{{dt}} = \frac{{d(4\cos(\pi t))}}{{dt}} = -4\pi\sin(\pi t)
\]

Для нахождения второй производной, снова продифференцируем полученное выражение:

\[
\frac{{d^2r}}{{dt^2}} = \frac{{d(-4\pi\sin(\pi t))}}{{dt}} = -4\pi^2\cos(\pi t)
\]

Таким образом, модуль радиального ускорения материальной точки в момент времени \(t = 0.5\) c равен:

\[
|a_r| = \left|-4\pi^2\cos(\pi t)\right| = 4\pi^2\cdot|\cos(\pi\cdot 0.5)| = 4\pi^2\cdot|\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)|
\]

Учитывая, что \(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0\), получаем:

\[
|a_r| = 4\pi^2\cdot 0 = 0
\]

Таким образом, модуль радиального ускорения материальной точки в момент времени \(t = 0.5\) c равен нулю.