Каков модуль скорости третьего осколка при произвольном делении покоившегося ядра химического элемента, если массы трех

Ярило_928

56

Для решения данной задачи нам понадобятся законы сохранения импульса и кинетической энергии.

Импульс - это векторная величина, равная произведению массы и скорости тела. Он сохраняется при взаимодействии тел, когда на них не действуют внешние силы.

По закону сохранения импульса получим:
\(m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = m_3 \cdot v_3\)

где \(m_1\) и \(m_2\) - массы первых двух осколков, \(v_1\) и \(v_2\) - их скорости, \(m_3\) и \(v_3\) - масса и скорость третьего осколка.

Так как скорости первых двух осколков взаимно перпендикулярны, то векторные суммы импульсов по каждой оси равны нулю. Из этого следует, что:
\(m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = 0\)

Теперь рассмотрим закон сохранения кинетической энергии. Кинетическая энергия - это энергия движения тела, равная половине произведения его массы на квадрат скорости. Она тоже сохраняется при отсутствии внешних сил.

По закону сохранения кинетической энергии получим:
\(\frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot v_1^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot v_2^2 = \frac{1}{2} \cdot m_3 \cdot v_3^2\)

Теперь мы можем решить данную систему уравнений. Решение будет состоять из двух частей: нахождение скорости третьего осколка по закону сохранения импульса и нахождение её модуля по закону сохранения кинетической энергии.

Решая уравнение \(m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = 0\) относительно \(v_1\), получаем:
\(v_1 = -\frac{m_2}{m_1} \cdot v_2\)

Подставляя данное выражение для \(v_1\) в уравнение сохранения кинетической энергии и решая его относительно \(v_3\), получаем:
\(\frac{1}{2} \cdot m_3 \cdot v_3^2 = \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot \left(-\frac{m_2}{m_1} \cdot v_2\right)^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot v_2^2\)

\(\frac{1}{2} \cdot m_3 \cdot v_3^2 = \frac{m_2^2}{2m_1} \cdot v_2^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot v_2^2\)

\(\frac{1}{2} \cdot m_3 \cdot v_3^2 = \left(\frac{m_2^2}{2m_1} + \frac{1}{2} \cdot m_2\right) \cdot v_2^2\)

\(m_3 \cdot v_3^2 = \frac{m_2^2}{m_1} \cdot v_2^2 + m_2 \cdot v_2^2\)

\(v_3^2 = \frac{m_2^2}{m_1 \cdot m_3} \cdot v_2^2 + \frac{m_2}{m_3} \cdot v_2^2\)

Теперь найдём модуль скорости третьего осколка:
\(v_3 = \sqrt{\frac{m_2^2}{m_1 \cdot m_3} \cdot v_2^2 + \frac{m_2}{m_3} \cdot v_2^2}\)

Подставим известные значения:
\(v_3 = \sqrt{\frac{(4.5m)^2}{3m \cdot 5m} \cdot (2v)^2 + \frac{4.5m}{5m} \cdot (2v)^2}\)

Упростим выражение:
\(v_3 = \sqrt{\frac{20.25}{15} \cdot 4v^2 + \frac{4.5}{5} \cdot 4v^2}\)

\(v_3 = \sqrt{2.7 \cdot 4v^2 + 0.9 \cdot 4v^2}\)

\(v_3 = \sqrt{(2.7 + 0.9) \cdot 4v^2}\)

\(v_3 = \sqrt{3.6 \cdot 4v^2}\)

\(v_3 = \sqrt{14.4v^2}\)

\(v_3 = 3.8v\)

Таким образом, модуль скорости третьего осколка равен \(3.8v\) при произвольном делении покоившегося ядра химического элемента, с данными значениями масс осколков и скоростей первых двух осколков.