Каков момент инерции пустотелого цилиндра с очень тонкими стенками массы m и радиуса R, относительно осей OO и O1O1?

Евгений

14

Момент инерции, обозначаемый как \(I\), является величиной, которая характеризует распределение массы тела вокруг его оси вращения. Он определяется формулой:

\[I = \int r^2 dm\]

где
\(I\) - момент инерции,
\(r\) - расстояние от точки массы до оси вращения,
\(dm\) - масса дифференциального элемента тела.

Для пустотелого цилиндра нам понадобится разделить его на два компонента: внешний и внутренний цилиндры. Предположим, что внешний цилиндр имеет массу \(m_1\) и радиус \(R\), а внутренний цилиндр имеет массу \(m_2\) и радиус \(r\). Масса всего цилиндра равна сумме масс внешнего и внутреннего цилиндров, то есть \(m = m_1 + m_2\).

Мы можем выразить массу внутреннего цилиндра через массу внешнего и общую массу:

\[m_2 = m - m_1\]

Теперь мы можем представить момент инерции пустотелого цилиндра как сумму моментов инерции внешнего и внутреннего цилиндров.

\[I = I_1 + I_2\]

Для внешнего цилиндра, момент инерции можно выразить как:

\[I_1 = \frac{1}{2} m_1 R^2\]

Для внутреннего цилиндра, момент инерции можно выразить так:

\[I_2 = \frac{1}{2} m_2 r^2\]

Теперь мы можем подставить значения \(m_1\) и \(m_2\) в уравнение:

\[I_2 = \frac{1}{2} (m - m_1) r^2\]

Таким образом, общий момент инерции пустотелого цилиндра будет выглядеть так:

\[I = \frac{1}{2} m_1 R^2 + \frac{1}{2} (m - m_1) r^2\]

В этом выражении нам даны масса \(m\) и радиусы \(R\) и \(r\), поэтому мы можем заменить их на значения из условия задачи, чтобы получить окончательную формулу для момента инерции пустотелого цилиндра.