Каков наибольший общий делитель чисел a и b, если разность между ними равна 25 и является делителем каждого из этих

Zagadochnaya_Sova

22

Для решения этой задачи определим общие делители чисел \(a\) и \(b\), учитывая, что их разность равна 25.

Допустим, что \(a\) и \(b\) - два числа, а \(d\) - их наибольший общий делитель (НОД).

Мы знаем, что \(d\) является делителем обоих чисел \(a\) и \(b\), поэтому можем записать:

\[ a = d \cdot m \]
\[ b = d \cdot n \]

где \(m\) и \(n\) - некоторые целые числа.

Также известно, что разность между \(a\) и \(b\) равна 25:

\[ a - b = 25 \]

Подставим значения \(a\) и \(b\):

\[ (d \cdot m) - (d \cdot n) = 25 \]

\[ d \cdot (m - n) = 25 \]

Теперь мы знаем, что \(d\) является делителем числа 25. Разложим 25 на множители:

\[ 25 = 5 \cdot 5 \]

Таким образом, НОД \(d\) может быть равен 5 или 25.

Предположим, что \(d\) равно 5. Подставим это значение в уравнение \(d \cdot (m - n) = 25\):

\[ 5 \cdot (m - n) = 25 \]

\[ m - n = 5 \]

Теперь обратимся к условию задачи, которое говорит, что разность между \(a\) и \(b\) также является делителем каждого из этих чисел. Значит, разность между \(a\) и \(b\) должна быть кратна 5. Таким образом, мы можем представить её в виде:

\[ a - b = 5k \]

где \(k\) - некоторое целое число. Итак, у нас есть два уравнения:

\[ m - n = 5 \]
\[ a - b = 5k \]

Решая эти два уравнения, мы можем найти значения \(a\) и \(b\). Например, если \(m = 10\) и \(n = 5\), то \(k\) может быть равным 2:

\[ a = d \cdot m = 5 \cdot 10 = 50 \]
\[ b = d \cdot n = 5 \cdot 5 = 25 \]

Таким образом, для этих значений \(a\) и \(b\) выполняются все условия задачи.

Обратите внимание, что мы также могли выбрать \(d = 25\), и решение было бы тем же:

\[ a = d \cdot m = 25 \cdot 2 = 50 \]
\[ b = d \cdot n = 25 \cdot 1 = 25 \]