Какова вероятность того, что за год перегорит от одной до трех лампочек в гирлянде?

Японка

4

Для решения этой задачи посчитаем общее число благоприятных исходов (когда от одной до трех лампочек перегорит) и общее число возможных исходов (когда любое количество лампочек может перегореть).

Предположим, что в гирлянде находится \(n\) лампочек. Чтобы вычислить общее число возможных исходов, нужно учесть, что каждая лампочка может быть в двух состояниях: работоспособной или перегоревшей. Таким образом, общее число возможных исходов будет равно \(2^n\).

Теперь рассмотрим благоприятные исходы, когда перегорает от одной до трех лампочек. Для этого посчитаем число комбинаций, в которых перегорает только одна лампочка, только две лампочки и только три лампочки. В итоге сложим эти числа.

- Число благоприятных исходов, когда перегорает только одна лампочка: для этого есть \(n\) возможных способов выбрать одну перегоревшую лампочку. Таким образом, число таких комбинаций равно \(n\).
- Число благоприятных исходов, когда перегорают только две лампочки: для этого нужно выбрать две лампочки из \(n\) возможных исходов, их порядок не имеет значения. Это можно вычислить, используя сочетания. Число сочетаний из \(n\) по 2 обозначается как \(C(n,2)\) и равно \(\frac{{n!}}{{2!(n-2)!}}\).
- Число благоприятных исходов, когда перегорает только три лампочки: для этого нужно выбрать три лампочки из \(n\) возможных исходов. Это также можно выразить с помощью сочетаний, \(C(n,3)\), и вычислить по формуле \(\frac{{n!}}{{3!(n-3)!}}\).

Теперь сложим все числа благоприятных исходов, чтобы получить общее число благоприятных исходов:

\[
n + C(n,2) + C(n,3)
\]

Вероятность того, что за год перегорит от одной до трех лампочек, будет равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов:

\[
P = \frac{{n + C(n,2) + C(n,3)}}{{2^n}}
\]

Это выражение позволит нам вычислить вероятность, исходя из числа лампочек в гирлянде \(n\). Например, если в гирлянде есть 10 лампочек (\(n = 10\)), искомая вероятность будет равна:

\[
P = \frac{{10 + C(10,2) + C(10,3)}}{{2^{10}}}
\]