Каков наибольший отрицательный корень уравнения sin^x+3=7sinxcosx?

Lelya

30

Чтобы найти наибольший отрицательный корень уравнения \(\sin^x+3=7\sin x\cos x\), мы должны сперва привести его к квадратному уравнению. Для этого предлагаю сделать замену: пусть \(t = \sin x\).

Затем заменим \(\cos x\) из исходного уравнения. Воспользуемся тригонометрической формулой \(\cos^2x = 1 - \sin^2x\), чтобы получить \(\cos x = \sqrt{1 - t^2}\).

Теперь подставим эти значения в исходное уравнение:

\(\sin^x+3=7\sin x\cos x\)

\((t^2)^x + 3 = 7t\sqrt{1 - t^2}\)

Для удобства записи заменим \((t^2)^x\) на \(t^{2x}\):

\(t^{2x} + 3 = 7t\sqrt{1 - t^2}\)

Сократим общий множитель:

\(t^{2x} + 3 = 7t\sqrt{1 - t^2}\)

Далее возведем обе части уравнения в квадрат:

\((t^{2x})^2 + (3)^2 + 2\cdot t^{2x}\cdot 3 = (7t\sqrt{1 - t^2})^2\)

Упростим:

\(t^{4x} + 9 + 6t^{2x} = 49t^2(1 - t^2)\)

Раскроем скобки:

\(t^{4x} + 9 + 6t^{2x} = 49t^2 - 49t^4\)

Перенесем все члены в одну сторону:

\(49t^4 - t^{4x} + 49t^2 - 6t^{2x} - 9 = 0\)

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно переменной \(t^2\):

\[(-1)^{4x}t^{4x} + (-6)t^{2x} + (49t^4 + 49t^2 - 9) = 0\]

Это квадратное уравнение может быть решено с помощью общей формулы решения квадратных уравнений. Однако, обычно для нахождения корней требуется знание значений \(x\) и вычисление значений \(t\), что требует большого количества вычислений и неявно позволяет найти есть ли вообще корни и примерное их значение. Такое уравнение решается численными методами или с помощью компьютерных программ. Если у вас есть доступ к программе для решения уравнений или математическому программному обеспечению, вы можете использовать его для поиска корней.