Каков наибольший простой делитель выражения 13!+14! ? (где т! = 1*2*3*...*(т-1)*т) * и Какова сумма коэффициентов

Таисия_425

14

Конечно, я с удовольствием помогу вам с этими задачами. Давайте начнем с первой задачи.

Задача: Каков наибольший простой делитель выражения "13!+14!"?

Подведем формулу для факториала: \( n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot n \)

Используя эту формулу, мы можем выразить данное выражение следующим образом:

\[ 13! + 14! = 13! + 13! \cdot 14 = 13!(1 + 14) = 13! \cdot 15 \]

Теперь мы хотим найти наибольший простой делитель данного выражения.

Давайте рассмотрим факторизацию числа 15. Оно может быть представлено в виде произведения простых чисел следующим образом: \( 15 = 3 \cdot 5 \).

Теперь, чтобы найти наибольший простой делитель выражения \( 13! \cdot 15 \), мы можем заметить, что наибольший простой делитель будет равен наибольшему простому делителю числа 15 (в данном случае это 5), так как число \( 13! \) не имеет делителей больше 5.

Таким образом, наибольший простой делитель выражения "13!+14!" равен 5.

Теперь перейдем ко второй задаче.

Задача: Какова сумма коэффициентов многочлена \( P(x)=(x^4-1)^2 \cdot (x^3+1) \)?

Для решения этой задачи, давайте раскроем скобки и сложим все коэффициенты.

Имеем:

\[ P(x) = (x^4-1)^2 \cdot (x^3+1) = (x^8 - 2x^4 + 1) \cdot (x^3 + 1) \]

Возведение в квадрат \( (x^4-1)^2 \) даёт нам \( (x^8 - 2x^4 + 1) \).

Умножение двух многочленов \( (x^8 - 2x^4 + 1) \cdot (x^3 + 1) \) можно выполнить, распределяя каждый член одного многочлена на каждый член второго многочлена.

После умножения и суммирования всех коэффициентов получим:

\[ P(x) = x^{11} + x^8 - 2x^7 - 2x^4 - x^3 - 2x^2 + 1 \]

Таким образом, сумма коэффициентов многочлена \( P(x) = x^{11} + x^8 - 2x^7 - 2x^4 - x^3 - 2x^2 + 1 \) равна -2.

Надеюсь, эти пошаговые решения помогли вам.