Какова линейная скорость рукоятки в момент удара ведра о поверхность воды в колодце, если масса ведра составляет

Совёнок

20

Для решения данной задачи воспользуемся законом сохранения энергии, согласно которому сумма потенциальной и кинетической энергии остается постоянной.

Сначала найдем потенциальную энергию ведра на высоте 5 м. Потенциальная энергия вычисляется по формуле: \(E_{\text{пот}} = m \cdot g \cdot h\), где \(m\) - масса ведра, \(g\) - ускорение свободного падения, \(h\) - высота.

Подставляя значения, получаем: \(E_{\text{пот}} = 10 \ \text{кг} \times 9.8 \ \text{м/c}^2 \times 5 \ \text{м} = 490 \ \text{Дж}\).

Затем найдем кинетическую энергию ведра в момент удара о поверхность воды. Кинетическая энергия вычисляется по формуле: \(E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} \cdot I \cdot \omega^2\), где \(I\) - момент инерции, \(\omega\) - угловая скорость.

Момент инерции ведра можно выразить через массу и радиус рукоятки по следующей формуле: \(I = \frac{1}{3} \cdot m \cdot r^2\).

Подставляя значения, получаем: \(I = \frac{1}{3} \cdot 10 \ \text{кг} \times (0.3 \ \text{м})^2 = 0.3 \ \text{кг} \cdot \text{м}^2\).

Так как задача просит найти линейную скорость рукоятки, необходимо перейти от угловой скорости к линейной. Для этого воспользуемся формулой: \(v = \omega \cdot r\), где \(v\) - линейная скорость, \(\omega\) - угловая скорость, \(r\) - радиус.

Перейдем к поиску угловой скорости. Для этого воспользуемся законом сохранения момента импульса, согласно которому момент импульса остается постоянным.

Момент импульса можно выразить через момент инерции и угловую скорость по формуле: \(L = I \cdot \omega\).

Поскольку момент импульса остается постоянным, его значения до и после удара ведра будут одинаковыми. Разложим момент импульса до удара и после удара на два слагаемых, соответствующих частям системы (ведру и рукоятке ворота). Так как момент инерции ворота известен, сможем найти его угловую скорость и, следовательно, линейную скорость рукоятки.

Момент инерции ворота можно выразить через массу и радиус вала по формуле: \(I_{\text{ворот}} = \frac{1}{2} \cdot m_{\text{ворот}} \cdot r_{\text{ворот}}^2\).

Подставляя значения, получаем: \(I_{\text{ворот}} = \frac{1}{2} \cdot 20 \ \text{кг} \times (0.1 \ \text{м})^2 = 0.1 \ \text{кг} \cdot \text{м}^2\).

Теперь из формулы момента импульса \(L = I \cdot \omega\) найдем угловую скорость рукоятки.
\[L_{\text{рук}} = I_{\text{рук}} \cdot \omega_{\text{рук}}\]
\[I_{\text{рук}} \cdot \omega_{\text{рук}} = I_{\text{ворот}} \cdot \omega_{\text{ворот}}\]
\[\frac{1}{3} \cdot 10 \ \text{кг} \times (0.3 \ \text{м})^2 \cdot \omega_{\text{рук}} = 0.1 \ \text{кг} \cdot \text{м}^2 \cdot \omega_{\text{ворот}}\]
\[\omega_{\text{рук}} = \frac{0.1 \ \text{кг} \cdot \text{м}^2 \cdot \omega_{\text{ворот}}}{\frac{1}{3} \cdot 10 \ \text{кг} \times (0.3 \ \text{м})^2}\]

Так как радиус равен 30 см, а угловую скорость ворота мы не знаем, оставим это выражение как результат. Результат будет представлен в радианах в секунду.

Наконец, перейдем к линейной скорости рукоятки, используя формулу \(v_{\text{рук}} = \omega_{\text{рук}} \cdot r_{\text{рук}}\).
\[v_{\text{рук}} = \omega_{\text{рук}} \cdot r_{\text{рук}}\]
\[v_{\text{рук}} = \frac{0.1 \ \text{кг} \cdot \text{м}^2 \cdot \omega_{\text{ворот}}}{\frac{1}{3} \cdot 10 \ \text{кг} \times (0.3 \ \text{м})^2} \cdot 0.3 \ \text{м}\]

Таким образом, линейная скорость рукоятки в момент удара ведра о поверхность воды в колодце будет равна \(\frac{0.1 \ \text{кг} \cdot \text{м}^2 \cdot \omega_{\text{ворот}}}{\frac{1}{3} \cdot 10 \ \text{кг} \times (0.3 \ \text{м})^2} \cdot 0.3 \ \text{м}\).