Каков объем конуса, если его основание имеет диаметр 12 и длина образующей составляет

Vesenniy_Les_1839

2

Для решения этой задачи, мы воспользуемся формулой для объема конуса:

\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\]

где \(V\) - объем конуса, \(\pi\) - математическая константа, \(r\) - радиус основания конуса, \(h\) - высота конуса.

У нас есть информация, что диаметр основания равен 12, а длина образующей \(l\) является неизвестной. Для начала, найдем радиус основания конуса, который половина диаметра. Тогда радиус будет равен:

\[r = \frac{12}{2} = 6\]

Теперь, осталось только найти высоту конуса. Для этого нам потребуется теорема Пифагора. В треугольнике, образованном диаметром основания, высотой конуса и образующей, у нас будет прямоугольный треугольник. Поэтому мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения высоты:

\[l^2 = r^2 + h^2\]

Так как у нас дана длина образующей \(l\), а радиус \(r\) равен 6, мы можем переписать формулу следующим образом:

\[l^2 = 6^2 + h^2\]

\[l^2 = 36 + h^2\]

Для нахождения высоты, нужно извлечь квадратный корень из обоих сторон:

\[l = \sqrt{36 + h^2}\]

Теперь мы получили выражение для длины образующей через высоту конуса. Теперь, чтобы найти объем конуса, мы можем подставить значения радиуса (\(r = 6\)) и высоты (\(h\)) в формулу:

\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\]

\[V = \frac{1}{3} \pi \cdot 6^2 \cdot h\]

\[V = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot h\]

\[V = 12 \pi h\]

Таким образом, объем конуса равен \(12 \pi h\), где \(h\) - высота конуса.