Каков объем пирамиды, если все ее боковые ребра наклонены к основанию под углом 60°, а в основании есть равнобедренный

Максик

44

Чтобы рассчитать объем пирамиды, нам необходимо знать площадь основания и высоту пирамиды.

Начнем с нахождения площади основания пирамиды. В данной задаче говорится, что в основании пирамиды находится равнобедренный треугольник с боковой стороной 6 см и углом при вершине 120°. При этом треугольник равнобедренный, значит, две его боковые стороны равны. Так как угол при вершине равен 120°, то два других угла треугольника также равны между собой и равны (180° - 120°) / 2 = 30°.

Чтобы найти высоту пирамиды, рассмотрим высоту, опущенную из вершины пирамиды на основание. Мы получим равнобедренный треугольник, в котором гипотенуза равна высоте пирамиды. Так как два угла при основании равны 30°, а один угол при вершине равен 60° (комплементарный угол у треугольника основания), то третий угол вершины составляет 180° - 30° - 30° - 60° = 60°. Таким образом, у нас имеется прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 6 см (половина боковой стороны треугольника основания). Мы можем найти гипотенузу (высоту пирамиды) с помощью теоремы Пифагора:

\[h = \sqrt{{3^2 + 6^2}} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \approx 6,71 \, \text{см}\]

Теперь, когда у нас есть площадь основания (\(S\)) и высота пирамиды (\(h\)), мы можем рассчитать объем пирамиды (\(V\)) по формуле:

\[V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h\]

Поскольку основание пирамиды - равнобедренный треугольник, мы можем найти его площадь с помощью следующей формулы:

\[S = \frac{{a \cdot b}}{2}\]

где \(a\) - одна из катетов (половина боковой стороны треугольника основания), а \(b\) - отрезок, опущенный из вершины пирамиды на основание (высота пирамиды).

Подставим известные значения:

\[S = \frac{{6 \cdot 3\sqrt{5}}}{2} = \frac{{18\sqrt{5}}}{2} = 9\sqrt{5} \approx 20,09 \, \text{см}^2\]

Теперь рассчитаем объем пирамиды:

\[V = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{5} = \frac{27 \cdot 5}{3} = 45 \, \text{см}^3\]

Таким образом, объем пирамиды составляет 45 кубических сантиметров.