Каков объем пирамиды с основанием sabc, где sabc - правильный треугольник со стороной 2√3, боковое ребро

Огонек_3384

67

Чтобы определить объем пирамиды с основанием \(sabc\), нам необходимо знать его высоту и площадь основания.

Начнем с вычисления площади основания. Заданное основание \(sabc\) является правильным треугольником со стороной \(2\sqrt{3}\). У правильного треугольника высота (\(h\)) с центральными точками основания, делит треугольник на два других равнобедренных треугольника.

Площадь равнобедренного треугольника равна \(\frac{1}{2} \times l \times h\), где \(l\) - длина основания равная \(2\sqrt{3}\), а \(h\) - высота треугольника. Учитывая, что правильный треугольник разделен на два равнобедренных треугольника, площадь основания можно рассчитать так:

\[S_{\text{осн}} = 2 \times \frac{1}{2} \times (2\sqrt{3}) \times h\]

Далее нам необходимо определить высоту пирамиды (\(H\)). Ребро \(sa\) является боковым ребром, перпендикулярным к плоскости основания. Значит ребро \(sa\) является высотой пирамиды.

Теперь, чтобы найти высоту (\(H\)), мы можем использовать свойство прямоугольной грани \(bsc\), которая наклонена к плоскости основания под углом \(60°\). Это означает, что треугольник \(bsc\) является равнобедренным, а значит, один из его углов равен \(60°\).

Следовательно, мы можем использовать формулу для поиска высоты равнобедренного треугольника:

\[H = \frac{1}{2} \times B \times \tan(\alpha)\]

Где \(B\) - длина основания \(bsc\), а \(\alpha\) - угол между основанием и боковым ребром, равный \(60°\).

Теперь мы можем рассчитать объем пирамиды. Объем пирамиды (\(V\)) определяется по формуле:

\[V = \frac{1}{3} \times S_{\text{осн}} \times H\]

Теперь проведем вычисления:

1. Расчет площади основания:

\[S_{\text{осн}} = 2 \times \frac{1}{2} \times (2\sqrt{3}) \times h = 2\sqrt{3}h\]

2. Расчет высоты:

\[H = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{3} \times \tan(60°)\]

Мы знаем, что \(\tan(60°) = \sqrt{3}\), поэтому:

\[H = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3\]

3. Расчет объема:

\[V = \frac{1}{3} \times S_{\text{осн}} \times H = \frac{1}{3} \times (2\sqrt{3}h) \times 3 = 2\sqrt{3}h\]

Итак, объем пирамиды с основанием \(sabc\) составляет \(2\sqrt{3}h\).