Каков объем пирамиды SABC, если известно, что она построена на прямоугольном треугольнике △ABC с прямым углом

Виталий

44

Для начала, давайте разберемся с построением этой пирамиды на прямоугольном треугольнике ABC. У нас есть треугольник ABC, где AB равно 6, а AC равно 8. Точка H является центром описанной окружности этого треугольника.

Так как точка H является центром описанной окружности, то она находится на пересечении биссектрис треугольника. Также, так как угол BAC равен прямому углу, то высота пирамиды SH будет проходить через вершину S и перпендикулярна к основанию треугольника ABC.

Таким образом, мы получаем прямоугольный треугольник SAH, где SA - это высота пирамиды, а AH - это радиус описанной окружности.

Чтобы найти объем пирамиды SABC, нам необходимо знать площадь основания треугольника и высоту пирамиды. Площадь основания треугольника ABC можно найти по формуле площади треугольника: S = (1/2) * AB * AC.

Теперь нам нужно найти высоту пирамиды SA. Для этого мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника SAH. Расстояние между точками A и H - это радиус описанной окружности треугольника ABC, который можно найти с помощью формулы: AH = (AB * AC) / (2 * sqrt(AB^2 + AC^2)).

Таким образом, высота пирамиды SA будет равна SH = sqrt(SA^2 - AH^2).

Итак, мы нашли основание треугольника ABC, радиус описанной окружности AH, и высоту пирамиды SH. Теперь мы можем найти объем пирамиды SABC, используя формулу объема пирамиды: V = (1/3) * S * SH.

Теперь давайте подставим все известные значения в формулы и рассчитаем объем пирамиды SABC:
\[
V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot SH = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC\right) \cdot \left(\sqrt{SA^2 - AH^2}\right)
\]
\[
= \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8\right) \cdot \left(\sqrt{SA^2 - \left(\frac{6 \cdot 8}{2 \cdot \sqrt{6^2 + 8^2}}\right)^2}\right)
\]
\[
= \frac{24}{3} \cdot \left(\sqrt{SA^2 - \left(\frac{48}{\sqrt{100}}\right)^2}\right)
\]
\[
= 8 \cdot \left(\sqrt{SA^2 - \left(\frac{48}{10}\right)^2}\right)
\]

Таким образом, объем пирамиды SABC равен \(8 \cdot \sqrt{SA^2 - \left(\frac{48}{10}\right)^2}\).