Каков объем пирамиды SABC, если известно, что основание - прямоугольный треугольник △ABC с прямым углом в

Larisa

36

Чтобы решить эту задачу, мы можем воспользоваться формулой для объема пирамиды, которая выглядит следующим образом:

\[V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot H\]

где \(V\) - объем пирамиды, \(S\) - площадь основания пирамиды, \(H\) - высота пирамиды.

В данной задаче основание пирамиды - прямоугольный треугольник △ABC. Для нахождения площади основания, нам понадобится формула площади треугольника. Площадь треугольника можно вычислить, зная длины двух его сторон и угол между ними. В данном случае нам известны длины сторон AB и AC, а также информация о прямом угле в точке A.

Давайте первым делом найдем площадь прямоугольного треугольника △ABC:

\[S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC\]

Подставим известные значения сторон AB=6 и AC=8 в данную формулу:

\[S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8\]

\[S_{\Delta ABC} = 24\]

Теперь, когда у нас есть значение площади основания пирамиды, нам осталось найти высоту пирамиды. Из условия задачи известно, что точка H - центр описанной окружности треугольника ABC, и SH является высотой пирамиды. Таким образом, нам необходимо найти длину отрезка SH.

Мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения этой длины. Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике с катетами a и b и гипотенузой c выполняется следующее равенство:

\[a^2 + b^2 = c^2\]

Так как точка H - центр описанной окружности, отрезок SH будет являться радиусом этой окружности. Таким образом, SH будет равняться радиусу описанной окружности треугольника ABC.

Обозначим радиус описанной окружности как \(r\). Тогда:

\[AB = BC = AC = 2r\]

Теперь мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения радиуса описанной окружности:

\[(2r)^2 + (2r)^2 = AC^2\]

\[4r^2 + 4r^2 = 8^2\]

\[8r^2 = 64\]

\[r^2 = \frac{64}{8}\]

\[r^2 = 8\]

\[r = \sqrt{8}\]

\[r = 2\sqrt{2}\]

Теперь, когда у нас есть радиус описанной окружности, мы можем найти высоту пирамиды SH. Воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника со сторонами SH, радиусом описанной окружности и прямой, соединяющей вершину пирамиды с центром основания (эта прямая является высотой пирамиды).

\[(SH)^2 + (2\sqrt{2})^2 = (8)^2\]

\[SH^2 + 8 = 64\]

\[SH^2 = 64 - 8\]

\[SH^2 = 56\]

\[SH = \sqrt{56}\]

\[SH = 2\sqrt{14}\]

Теперь у нас есть площадь основания пирамиды \(S_{\Delta ABC} = 24\) и высота пирамиды \(SH = 2\sqrt{14}\).

Осталось подставить эти значения в формулу для объема пирамиды:

\[V = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 2\sqrt{14}\]

\[V = \frac{8}{3}\sqrt{14}\]

Таким образом, объем пирамиды \(V\) равен \(\frac{8}{3}\sqrt{14}\).