Каков объем прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если известно, что ∠ABD равен 30°, DD1 равно 4 см, а AD равно

Pylayuschiy_Zhar-ptica

48

Для решения данной задачи находим объем прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.

Введем обозначения:
AB = a, AD = b, DD1 = h.

Будем использовать формулу для объема параллелепипеда:
V = a * b * h.

У нас известны значения DD1 и AD, но необходимо найти значение AB.

Чтобы найти сторону AB, воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника ABD, в котором известны угол ∠ABD и длина DD1.

Сначала найдем длину BD. Используя косинус теорему в треугольнике ABD, имеем:

BD^2 = AD^2 + DD1^2 - 2 * AD * DD1 * cos(∠ABD).

Подставим известные значения:
BD^2 = b^2 + 4^2 - 2 * b * 4 * cos(30°).

Выполняя вычисления, получим:
BD^2 = b^2 + 16 - 8b * √3 / 2
BD^2 = b^2 + 16 - 4b√3
BD^2 = b^2 - 4b√3 + 16.

Затем найдем сторону AB, используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике ABD:

AB^2 = b^2 + BD^2.

Подставим найденное значение BD^2:
AB^2 = b^2 + (b^2 - 4b√3 + 16).

Выполняя вычисления, получим:
AB^2 = 2b^2 - 4b√3 + 16.

Теперь, когда у нас есть значение стороны AB, можем перейти к расчету объема параллелепипеда.

Объем параллелепипеда:
V = AB * AD * DD1.

Подставим найденные значения:
V = (√(2b^2 - 4b√3 + 16)) * b * 4.

Выражение (√(2b^2 - 4b√3 + 16)) * b можно упростить, если обозначить 2b^2 - 4b√3 + 16 как x.

Тогда V = √x * b * 4.

Таким образом, объем прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 4 * √(2b^2 - 4b√3 + 16) * b.

Полученное выражение является ответом на задачу.